Kuantum mekaniğinin temel denklemi: Schrödinger Denklemi

UNESCO’nun 2025 yılını Uluslararası Kuantum Bilimi ve Teknolojileri Yılı^[1]International Year of the Quantum Science and Technology – IYQ: https://quantum2025.org/ ilân etmesinin nedeni Schrödinger ve Heisenberg’in tam 100 yıl önce, 1925’te, kuantum mekaniğinin temel denklemi olan Schrödinger denklemini farklı biçimleriyle ortaya koymuş olmalarıydı.

Erwin Schrödinger kendi ismiyle anılan dalga denklemini 1925’te geliştirip Ocak 1926’da ‘Annalen der Physik’ dergisinde yayınlamış.^[2]Schrödinger, E. (Ocak 1926). Quantisierung als Eigenwertproblem. Annalen Der Physik, 384(4), 361–376. https://doi.org/10.1002/andp.19263840404 Yine 1925’te Werner Heisenberg (ile Max Born ve Pascual Jordan) denklemin matrislerle yazılan biçimini bulmuşlar.  Heisenberg’in makalesi^[3]Heisenberg, W. (Aralık 1925). Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen. Zeitschrift für Physik, 33(1), 879–893. https://doi.org/10.1007/bf01328377  Born ve Jordan’ın makaleleri^[4]Born, M. & Jordan, P. (Aralık 1925)  Zür Quantenmechanik.   Z. Physik 34, 858–888 (1925). https://doi.org/10.1007/BF01328531 yine Aralık 1925’te yayınlanmış. Born, Heisenberg ve Jordan’ın hep birlikte Ağustos 1926’da yayınladıkları bir makale ile çalışma tamamlanmış.^[5]Born, M., Heisenberg, W., & Jordan, P. (Ağustos 1926). Zur Quantenmechanik. II. Zeitschrift für Physik, 35(8–9), 557–615. https://doi.org/10.1007/bf01379806

Kuantum mekaniğine yol açan elektronların hem parçacık hem de aynı zamanda dalga olduğu fikri 1913’te Niels Bohr’un hidrojen atomunun özelliklerini tam olarak deneylerle uyuşan bir şekilde “çıkartan” makalesinde yer almıştı.^[6]Bohr, N. (1913). I. On the constitution of atoms and molecules. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 26(151), 1–25. https://doi.org/10.1080/14786441308634955  Atomun yapısının nasıl anlaşıldığını daha önce sarkac.org‘da çıkan ‘Atom Nedir? I’  ve ‘Atom nedir? II: Bohr’un atom modeli’ başlıklı iki yazıda ele almıştım. İkinci yazı klasik fiziğin açıklayamadığı atom özelliklerini Bohr’un nasıl çok radikal bir varsayımla tam tamına türettiğini ele alıyordu.

Atom Nedir? I

Atom nedir? II – Bohr’un atom modeli

Louis de Broglie’un 1925’te bulduğu dalgaboyu – momentum ilişkisi kullanıldığında Bohr’un varsayımı, atomun içine tam sayıda elektron dalgasının sığacağı anlamına geliyor.^[7]de Broglie, L. (1925) Recherches sur la théorie des quanta, Annales de Physique, 10, 22–128. Böylece elektronun dalgaboyu atomun büyüklüğünü belirlemiş oluyor. Tam da müzik aletlerinde olduğu gibi: uzun dalga boyları (bas sesler) kontrbas gibi büyük enstrümanlarla, kısa dalga boyları ise keman gibi küçük enstrümanlarla elde ediliyor.

Fakat o yıllarda henüz ortada bu dalgayı anlatan bir ifade yani bir “dalga fonksiyonu” veya bunu hesaplayıp öngörülerde bulunacak, deneylerle karşılaştırılabilecek bir hesap yolu, bir denklem yoktu!

İşte Schrödinger ve Heisenberg’le arkadaşlarının 1925’te yaptıkları, elektronun dalga özelliğini anlatan denklemleri bulmaktı. Bu denklemleri çeşitli sistemlere uyguladıkları zaman fizikçiler kısa zamanda daha önce anlaşılamayan birçok problemin çözümünü de buldular. Bu yazıda Schrodinger’in meşhur denklemini nasıl yazdığını anlatacağım.  Matematik ifadeler yer yer zor gelebilir ama ama her adımda arkasındaki kavramsal fikri de birlikte takip edeceğiz.

Peki ama elektronlarla ilgili bu dalga neyin dalgası? Açıklama Schrödinger denkleminden iki yıl sonra 1926’de Max Born’dan gelmiş. Born, elektronun dalga özelliğini anlatan ve Schrödinger denkleminin çözümünü veren dalga fonksiyonun karesinin herhangi bir noktadaki değerinin, elektronun o noktada bulunma olasılığını verdiğini öne sürmüş.^[8]Born, M. (Aralık 1926). Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge. Zeitschrift für Physik, 37(12), 863–867. https://doi.org/10.1007/bf01397477

Dalga parçacık ikiliği ve temel kavramlar

Schrödinger’in denklemini yazmasından önce kuantum mekaniğinin temel fikirleri ortaya konmuştu. Kısaca, klasik fizikte dalga gibi görünen şeyler, mesela ışık ve diğer elektromanyetik dalgalar ve ses dalgaları aynı zamanda parçacık özellikleri taşıyor; aynı şekilde parçacık olduğu sanılan şeyler, mesela elektronlar da aynı zamanda dalga özelliği taşıyorlardı. Daha önce Sarkaç’ta ele aldığım dalga-parçacık ikiliği denen bu düstur kuantum mekaniğinin özüdür.

Kuantum mekaniği: Dalga-parçacık ikiliği

Nesnelerin dalga ve parçacık özelliklerini birbirine bağlayan iki kelimelik “dalga-parçacık sözlüğü”nü hatırlayalım.

Sözlüğün sol tarafında kırmızı harflerle parçacık özelliklerini, sağ tarafında mavi harflerle dalga özelliklerini yazıyorum:

 

I. Planck:

enerji  $E=hf=\hbar \omega $ frekans / radyan frekans

 

II. de Broglie:

momentum $p=mv=h/\lambda=\hbar k $ dalgaboyu / dalga sayısı

 

$f$,frekans
$\omega=2\pi f$,radyan frekans
$\lambda$, dalgaboyu
$k=2\pi/\lambda$, dalga sayısı
$h$, $\hbar=h/2\pi $, Planck sabiti

Birinci satırda parçacıkça ‘enerji’ kelimesinin dalgacaya çevirisinin frekans $f$ olduğunu ilk kez 1900’de Max Planck öngörmüş.^[9]Planck, M. (1900) Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspektrum. Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft, 2, 237–245.^[10]Planck, M. (1901). Ueber das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum. Annalen Der Physik, 309(3), 553–563. https://doi.org/10.1002/andp.19013090310 Bunu da yine Sarkaç’ta Planck sabiti nedir? başlıklı yazıda anlatmıştım.

Planck, elektromanyetik dalgaların paketler halinde enerji taşıdığını varsaymıştı. Bir paketin enerjisi (kuantumu) $\epsilon=hf$ olmak üzere elektromanyetik dalganın enerjisi $E=nhf$, $n=1, 2, 3..$ değerlerini alabilir. Bu varsayım belli sıcaklıktaki bir cismin farklı renklerde (frekansta) ne kadar ışıdığını anlatan kara cisim ışımasını deneylerle tam uyumlu biçimde açıklamıştı. Elektromanyetik dalgaların kuantum kılığına, yani parçacık benzeri paketlerine foton deniyor.

Planck sabiti nedir? Klasik fiziğin çıkmazları kuantum fiziğiyle nasıl çözüldü?

Ardından 1905’te Einstein, fotoelektrik olayı diye bilinen bambaşka bir deneyde $f$ frekansındaki elektromanyetik dalgalarla metale enerji verildiğinde metalden fırlayan elektronların enerjilerini aynı Planck bağıntısını kullanarak açıklamıştı.^[11]Einstein, A. (1905). Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt. Annalen Der Physik, 322(6), 132–148. https://doi.org/10.1002/andp.19053220607  $f$ frekansındaki elektromanyetik dalganın enerjisi $hf$ iken, elektronların bağlı olduğu metalden kopması için gereken, o metale özgü $\Phi$ kadar bağlanma enerjisini verdikten sonra metalden çıkan serbest bir elektronun $\epsilon= hf -\Phi$ kadar enerjisi kalıyor.

Bohr da kurduğu model ile hidrojen atomunun ayrık enerji seviyelerini hesapladıktan sonra hidrojenin saldığı veya soğurduğu fotonların enerjilerinin atomun $E_n$ ve $E_f$ gibi iki enerji seviyesinin farkı kadar yani $\epsilon=|E_n -E_f|$ olacağını, dolayısıyla Planck ilişkisine göre hidrojenin saldığı veya soğurduğu elektromanyetik ışınımın dalga özelliği olarak da sadece $f=|E_n -E_f|/h$ frekanslarının (renklerinin) hidrojen tayfında (spektrumunda) gözleneceğini öngörmüş, bu formül de gözlemleri tam tamına açıklamıştı.^[12]Bohr, N. (1913). I. On the constitution of atoms and molecules. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 26(151), 1–25. https://doi.org/10.1080/14786441308634955

Sözlükteki ikinci kelimemiz parçacıkça ‘momentum’un dalgacaya çevirisinin dalgaboyu ile ilintili olarak şeklinde $p=h/\lambda=\hbar k$ olduğunu ilk kez 1924’te Louis de Broglie bulmuştu.^[13]de Broglie, L. (1925) Recherches sur la théorie des quanta, Annales de Physique, 10, 22–128. 1913’te Bohr’un hidrojen atomunu anlamak için öne sürdüğü radikal hipotez, de Broglie ilişkisi ile kullanıldığında atoma tam sayıda elektron dalgaboyu sığdığı şeklini alarak kuantum mekaniğinin özüne, dalga-parçacık ikiliğine oturuyor.

Parçacığın enerjisini nasıl ifade ederiz?

Çevresindeki başka nesnelerle zamanla değişen etkileşmeleri olmayan, sürtünme ile ısı üreterek enerji kaybetmeyen sistemlerin toplam enerjileri $E$ sabit kalır, yani ‘korunur’. Parçacık dilinde enerjisi korunan herhangi bir sistemin sabit enerjisinin nasıl hesaplanacağını ifade eden cümle

$$H({\bf{p},\bf{r}})\equiv E$$

biçimindedir. Adına ‘Hamiltoniyen’ denen $H$, parçacığın momentum vektörü ${\bf p} \equiv m {\bf v} =m (v_x, v_y, v_z)$ ve konum vektörü ${\bf r}= (x, y, z)$ cinsinden enerjiyi hesaplamaya yarayan formüldür. Cismin hareketi ile ${\bf r}(t)$ ve ${\bf p}(t)$ zamanla $t$ sürekli değişirken toplam enerji $E$ değişmez. Toplam enerji hareket enerjisi (kinetik enerji) $KE=(1/2) m v^2=p^2/2m$ ile cismin üzerinde başka nesnelerin etkilerini, yani kuvvetleri veren, sadece koordinatlara bağlı potansiyel enerji $U({\bf r})$’den oluşur. Kolay olsun diye hareketin sadece bir boyutta, mesela $x$ ekseni üzerinde olduğunu varsayalım. Böylece cümlemiz

$$H(p, x)= KE+U(x)=\frac{p^2}{2m}+U(x)=E$$

biçimindedir.

Enerjisi korunur durumda olan, ama potansiyel enerji $U(x)$ ifadeleri farklı olan sonsuz sayıda sistem bulunduğuna göre parçacık dili her dil gibi sonsuz sayıda cümle üretebilir. Ancak bütün bu cümlelerin yapısı tek tip. Sözlüğümüzü kullanarak bu cümleyi dalgacaya çevirelim

$$E=\hbar \omega=\frac{\hbar^2 k^2}{2m}+U(x) $$

Bu cümle de dalga dilinin standart cümlesi. Tek tip cümle yapısı $\omega=\omega(k)$ şeklinde. “Dağılma ilişkisi” denen bu tür formüller bir dalganın frekansı $\omega=2\pi f$ ile dalga sayısı $k$ arasındaki bağıntıyı dalganın içinde bulunduğu sistemin fiziksel özelliklerine bağlı olarak veriyor. $k$ yerine dalgaboyu $\lambda$ da kullanılabilir, çünkü $k=2\pi/\lambda$.

$U(x)$, dalga bir ortamdan diğerine geçerken ortamın değişmesini yansıtıyor, mesela ışığın sudan cama geçmesi gibi.

Serbest bir kuantum parçacığının / dalgasının enerjisi

Şimdi hiçbir başka nesne ile etkileşmeyen, yani potansiyel enerjisi $U({\bf{r}})=0$ olan bir parçacık düşünelim. Işık hızından çok küçük bir hızla hareket ediyorsa o zaman $$H(p,x)= KE=\frac{p^2}{2m}=E$$

Parçacık diliyle bu serbest (etkileşmeyen) parçacık, çok uzaklardan gelip çok uzaklara doğru hep aynı yönde, bir düz çizgi izleyerek aynı momentum $p = mv$ ve sürat $v$ ile gidiyor. Tek ve sabit momentum $p$ değeri olduğuna göre karşılık bu serbest parçacığın dalga karşılığında da parçacık-dalga sözlüğüne göre $p=\hbar k=h/\lambda$ şeklinde belirlenen tek ve sabit bir dalga sayısı $k$, tek ve sabit bir dalga boyu $\lambda$ bulunmalı. Bu dalgayı şu şekilde ifade edebiliriz.

$$\psi_0(x,t)=A \cos(k x-\omega t)+B \sin(k x-\omega t)$$

$$\psi_0(x,t)=A \cos[k (x- v t)]+B \sin[k (x- v t)]$$

Bu dalga $+x$ yönüne doğru $v$ hızıyla hareket ediyor. Demek ki dalganın dağılma ilişkisi $\omega=v k$.

Şimdi Schrödinger’in yolunu izleyelim. Serbest parçacık için geçerli olan

$$H(p,x) = \frac{p^2}{2m}  = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}  = E $$ eşitliğini serbest parçacığın dalgası $\psi_0(x,t)$ ile çarpalım:

$$\frac{\hbar^2 k^2}{2m} \psi_0(x,t) = E \psi_0(x,t) ~~~~~~~(1) $$

ve $\psi_0(x,t)$ fonksiyonunun yani cosinüs ve sinüs fonksiyonlarının temel matematiksel özelliğini hatırlayalım:

$$\frac{\partial \psi_0(x,t)}{\partial x^2}=-k^2 \psi_0(x,t)~~~~~~~~(2)$$

Bu denklemin sol tarafı “$\psi_0(x,t)$ fonksiyonunun $x$’e göre ikinci kısmi türevini alın” diye bir işlem tarif ediyor. Bunun ne demek olduğunu henüz bilmiyorsanız önemli değil, lisede veya üniversite birinci sınıfta türev almayı ve bütün bu işleri öğreneceksiniz. Şimdilik $\psi_0(x,t)$ gibi tek bir dalga boyu (renk) taşıyan dalgaların matematiksel ifadesine belli bir işlem yapıldığında cevabın sadece $-k^2$ ile çarpılmış olarak aynı dalga fonksiyonu çıkacağını bilmeniz yeterli. O zaman (1) ve (2) numaralı denklemlerini kullanarak

$$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial \psi_0(x,t)}{\partial x^2}=E \psi_0(x,t)$$

denklemini elde ediyoruz.

Serbest parçacığın gittiği yön $+x$ değil de $x,y,z$ eksenlerine göre herhangi bir yön olabilirdi. Doğayı anlatan yasalar bizim hangi eksenleri $x,y,z$ diye işaretlediğimize tabii ki aldırış etmeyeceğine göre bu denklemin 3 boyutta herhangi bir yönde ilerleyen düzlem dalga için genel şekli şöyle olacak:

$$-\frac{\hbar^2}{2m} \left[ \frac{\partial \psi_0(x,y,z,t)}{\partial x^2}+\frac{\partial \psi_0(x,y,z,t)}{\partial y^2}+\frac{\partial \psi_0(x,y,z,t)}{\partial z^2} \right]=E \psi_0(x,t)$$

Kolaylık olsun diye yine tek bir boyutta, $x$’e bağlı hareketi düşünelim. Buraya kadar serbest parçacığın zaten bilinen dalgasının uyduğunu anladığımız bir denklem yazdık. Çözülecek bir denklem değil, zaten bilinen çözümün uyduğu denklem bu.

Peki ya kuantum parçacığı/dalgası serbest değilse

Schrödinger’in bir sonraki adımı, serbest olmayan, bir $U({\bf r})$ potansiyel enerjisi ile yönlendirilen bir nesnenin kinetik enerjisiyle ilgili terimin yine

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial \psi_0(x,t)}{\partial x^2}$$

işlemiyle hesaplanacağı öngörüsü. Bu sistemin henüz bilinmeyen dalga fonksiyonu $\psi(x,t)$ şu denklemin çözümü olmalı:

$$H(x,p) \psi(x)=-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial \psi(x)}{\partial x^2}+U(x) \psi(x)=E \psi(x)$$

Denklemde zaman bağlı hiç bir işlem olmadığına göre bu denklem dalga durumunun sadece $x$’e bağlı davranışını çözmeye yarar. Onun için $\psi(x)$ yazıyoruz.

İşte Schrödinger Denklemi bu. Çözümü hiç de kolay değil!

Bakın bu denklem ne diyor: Öyle bir dalga fonksiyonu $\psi$ bulun ki, bu  fonksiyonun $x, y$ ve $z$’ye göre ikinci kısmi türevlerini toplayıp, sonra çıkan toplamı $-\hbar^2/2m$  ile çarpıp, bulduğunuz sonuca da potansiyel enerji fonksiyonu $U(x,y,z)$ ile  $\psi$’nin çarpımını da ekleyince, şapkadan tavşan çıkar gibi aynı $\psi$ fonksiyonunun sistemin sabit enerjisi ile çarpımı $E \psi$ çıksın!

Schrödinger denkleminin çözümü

Bu tür denklemlere öz-değer problemi^[14]İngilizce: Eigenvalue problem deniyor. Sadece özel bazı enerji $E$ değerleri için çözüm var.  Örneğin bir atoma bağlı durumdaki elektronu düşünelim, elektron dalgasının atoma sığdığı durumlar çok kısıtlı.  Elektronun enerji değerleri $E_1,E_2,E_3…$ gibi ayrık değerler oluyor. Yani iki enerji değeri arasındaki sayısal değerler mümkün değil, yasak enerji aralıkları var. Tıpkı bir müzik aletinde farklı tuşlara veya ayrık perdelere – notalara- basarak uyarılabilecek tüm seslerin frekanslarının ayrık olması gibi.

Gerçek bir sistemin herhangi bir durumu tabii kesin enerji değeri belli bu özel çözümlerden biri olmayabilir. Ama her sistemin enerjisi ölçülebilir, ölçülünce de kesin bir enerji değeri çıkacaktır. Bu değer de tabii ki mümkün değerlerin, Schrödinger denkleminin çözüm verdiği $E_j=E_1,E_2,E_3…$ değerlerinden biri olacak, öyleyse sistemin durumu, mesela atomda elektron dalgasının nerelere yayıldığı, Schrödinger denkleminin o $E_j$ değeriyle elde edilen $\psi_j$ dalga fonksiyonu çözümüyle belirlenen durum olacak.

Enerji “ölçümü” yapılmadan yani atomdaki elektronun enerjisini belli edecek bir etkileşim olmadan önce atom geçmişte başından geçenlerle belirlenmiş herhangi bir durumda. Bu genel durumda elektronlar özel enerjili özel durumlarda olmayacaklar. Ama enerjiyi belirleyen bir ölçüm veya etkileşmeden sonra mutlaka bu özel durumlardan herhangi birinde olduğu anlaşılacak. Öyleyse ölçümden/etkileşmeden önceki en genel durum bütün mümkün enerji durumlarının bir karışımıdır, her bir $E_j$ durumunun bu karışımda belli bir ağırlığı, yani ölçüm yapıldığında $E_j$ çıkmasının belli bir olasılığı vardır. Karışık bir dalganın içinde çeşitli frekansların renklerin bulunması, ancak frekans dağılımının (tayfın, spektrumun) ölçülmesi ile bu renklerin ayrıştırılması gibi.

Kuantum mekaniğinin parçacıkların hem de dalga olmasından kaynaklanan acayipliği işte burada: bir fiziksel özelliği belli edecek bir etkileşim olmadan önce ancak o değerin mesela enerjinin, yüzde kaç olasılıkla ne çıkacağı hesaplanabiliyor. Hangi değerin çıkacağı sistemin önceki tarihçesinden kesin bilinemiyor. Klasik fizikten ve günlük nedensellik algımızdan çok farklı. Ancak bir çok kez aynı durumdaki sistemde ayni ölçüm yapılırsa teorik olarak hesaplanan olasılıkların her bir $E_j$ değerinin gerçekleşme sıklığı (olasılığı) $P_j$ olarak deneyle ölçülmesi mümkün oluyor. Bu makroskopik dünyada şekillenmiş algılarımıza ters ama “doğa yasaları istatistiksel olamaz.” diye a priori (önden verili) bir felsefi gereklilik, böyle bir şart yok. Sonuç olarak kuantum mekaniğinin öngörüleri de bilimsel yönteme uygun şekilde deneylerle sınanarak doğrulanıyor veya yanlışlanabiliyor. Sadece deneyle sınanan önermeler istatistiksel.

Ali Alpar 
Bilim Akademisi üyesi
Sabancı Üniversitesi, Mühendislik ve Doğa Bilimleri Fakültesi