Planck sabiti nedir? Klasik fiziğin çıkmazları kuantum fiziğiyle nasıl çözüldü?

19. yüzyıl sonunda fizik bilimi büyük başarılar kazanmıştı. Maxwell denklemleriyle elektrik, mıknatıslık ve ışığın aslında elektromanyetik alanlar ve dalgaların farklı yüzleri olduğu anlaşılmıştı. Işık elektromanyetik dalgalar arasında bizim gözümüzün algıladığı çeşidiydi. Kısa süre içinde radyo, mor-ötesi (ultraviyole), kızıl-altı (infrared), X-ışını gibi hepsi aynı yasalara uyan aynı ışık hızı c ile yayılan elektromanyetik dalga çeşitleri bulundu. Öte yandan termodinamik ve istatistik fiziğin gelişmesiyle ısı da hesaba katılarak enerjinin bütün biçimlerini içeren enerji korunumu merkezi bir kavram olarak yerleşmişti. Bu büyük başarılarla birlikte klasik fizik tamamlanmış gibi görünecekken, çok temel birtakım gözlemlerin klasik fizikle çeliştiği, hiçbir şekilde anlaşılmadığı, tutarsızlıklara yol açtığı ortaya çıktı. Böylece bilim büyük bir zaferden büyük bir krize yönelmişti.

20. yüzyılın başlarında bu krizin bir yönü Einstein’ın görelilik teorisiyle, bir çok problemi içeren başka bir yönü de kuantum mekaniğiyle aşıldı. Kuantum teorisine göre nesneler hem parçacık hem dalga özellikleri taşırlar. Bir parçacık aynı zamanda bir dalgadır. Parçacık özellikleri enerji ve momentum ile dalga özellikleri frekans ve dalgaboyu arasındaki ilişkileri belirleyen temel tabiat sabiti Planck sabitidir.

Klasik fiziğin çıkmazlarından: “Kara cisim” ışıması

Klasik fiziğin anlayamadığı, kuantum mekaniğine giden yolu gösteren ilk büyük sorun “kara cisim” ışımasıdır.  (Bu “kara cisim” terimi biraz yanıltıcı. Burada kastedilen madde ile termodinamik dengede olan radyasyon. Bu radyasyonun içinde bütün renklerden farklı miktarlarda var, bütün renklerden radyasyon enerjisi madde ile radyasyon arasında alınıp veriliyor ve gerek maddenin gerekse radyasyonun sıcaklığı sabit kalıyor. Böyle bir cismin sıcaklığa bağlı bir rengi de var, aşağıda göreceğimiz gibi bu renk kara falan değil.)

Termodinamik dengede bir sistem düşünelim. Termodinamik denge demek bu sistemin her tarafı sabit bir T sıcaklığında, sistem çevresiyle enerji alışverişinde dengeye gelmiş, ne ısınıyor ne soğuyor, her atom ve molekülün ortalama enerjisi de kBT mertebesinde, sabit kalıyor demek. (Belli bir sıcaklığın enerji karşılığını belirleyen kB sabitine Boltzmann sabiti denir.)

Şimdi, termodinamik dengedeki cismimizdeki her atom ve molekülün enerjileri etraflarındaki diğer atom ve moleküllerle etkileştikçe anlık olarak değişiyor, fakat ortalama enerji sabit kalıyor. Her parçacık başka parçacıklarla etkileştiği gibi mutlaka elektromanyetik dalgalarla da sürekli etkileşiyor. Bu etkileşim Maxwell denklemleriyle iyice ayrıntılı olarak anlaşıldı.

Termodinamik dengede bütün atomların saniyede aldığı ve verdiği enerji miktarları eşit olmalı. Öyleyse T sıcaklığındaki bir sistemde elektromanyetik dalgaların da T sıcaklığına özgü özellikleri olmalı. Termodinamik dengede elektromanyetik dalgaların farklı frekanslarda ne kadar enerji taşıdığı da sıcaklığın belirlediği bir özellik olmalı.

Sobanın renkleri

Işık elektromanyetik dalgaların frekansını ve dalgaboyunu gözümüzün algıladığı bir çeşidi, ışığın frekansını biz renk olarak algılıyoruz.  Hepimiz biliyoruz ki belli sıcaklıktaki bir cismin mesela kızgın bir sobanın belli bir rengi vardır. Isındıkça renk önce kırmızı olur. Daha sıcak bir soba turuncu daha da sıcaksa sarı, sarı-beyaz, beyaz-mavi (akkor) olur. Daha da yüksek sıcaklıklarda soba renksiz, siyah gibi görünür, çünkü artık gözümüzün algılayamadığı mor-ötesi (ultraviyole) frekanslarda elektromanyetik dalga yaymaktadır. Aslında herhangi bir sıcaklıkta çıkan ışığı renklere ayırarak her bir frekansta ne kadar ışınım olduğunu ölçebiliriz. Soba kırmızı görünürken renklere ayrıştırırsak yani spektrumunu gözlersek mavi, yeşil, sarı vs. tüm renklerde (frekanslarda) belli bir miktar ışınım olduğunu, bileşik rengi kırmızı olarak gördüğümüzü anlarız.

Termodinamik dengedeki cisimlerden alınan ışıma spektrumu 19. yüzyılda gayet ayrıntılı ölçülebiliyordu. Işımanın renklere dağılması her sıcaklıkta hep aynı biçimde tipik bir eğriyi izliyordu. Sıcaklık arttıkça spektrumda en baskın frekans artıyor, yani renk maviye, mora, morötesine doğru gidiyor ve toplam ışıma şiddeti (cismin tüm renklerde toplam ne kadar ışıdığı da sıcaklığın dördüncü kuvvetiyle T4‘e orantılı olarak artıyordu.)

Resimde farklı sıcaklıklarda ışıma spektrumları gösteriliyor.

Resim, sıcaklığı 5000K, 6000K ve 7000K olan cisimlerin birim frekans aralığında yaptığı ışımanın enerji akısını gösteriyor.  Her sıcaklık için maksimum enerji barındıran frekans aralığı değişiyor. Sıcaklık arttıkça maksimum enerji daha yüksek frekanslara taşınıyor.

Bu ölçümleri klasik fizik ile anlamak mümkün değil. Hesap şöyle yapılıyor: önce sistemin içinde her bir frekansta kaç farklı dalga var bunlar sayılıyor. Aynı frekansta ama farklı yönlere giden kaç farklı dalga olabilir: frekansa f diyelim dalga sayısı  frekansla f2 ye orantılı olarak artar.

Peki farklı dalgaların her biri ne kadar enerji taşır?   

Klasik fiziğe göre her farklı dalga, frekansı ne olursa olsun, aynı bir atom veya molekül gibi, ortalama kBT kadar enerji taşır. Şimdi her bir frekanstaki farklı dalgaların sayısı ile her birinin taşıdığı enerjiyi çarparsak, her frekanstaki enerji miktarının yani spektrumun formülü (kBT f2 ) ye orantılı olmalı, klasik fizik doğru ise. Bu da gözlenen spektruma uymamaktan öte çok saçma bir beklentiye yol açıyor: bütün frekanslarda yayılan enerjiyi, yani (kBT f2 ) leri toplarsak, frekans arttıkça katkılar artıyor ve sonunda, sıcaklık düşük de olsa farketmez, termodinamik dengedeki tüm cisimler sonsuz miktarda ışınım enerjisi yayarlar sonucu çıkıyor. Klasik fizik sonsuz saçma bir sonuç veriyor.

Klasik fizikteki hata nerede?

Klasik fizikte her farklı dalganın ortalama enerjisi kBT çıkar çünkü dalganın anlık enerjisi E sıfırdan sonsuza bütün değerleri alabilir. 19. Yüzyıl sonunda Ludwig Boltzmann’ın gösterdiği gibi her bir enerji değerinin olasılığı P(E)= C exp (-E / kBT) formülüyle belirlenir. Bu formülün ne anlama geldiğini bilmiyorsanız önemli değil, önemli olan her bir enerji değerine ne sıklıkla rastlanacağını bildiren, deneylerle sıkı sıkıya doğrulanmış bir formülümüz var. Enerjinin bütün değerleri alabileceğini kabul ederek Boltzmann olasılık formülüyle ortalama enerji değerini hesaplarsak kBT çıkar.

Max Planck (1858-1947) (Wikimedia Commons)

1900 yılında Alman teorik fizikçi Max Planck çok radikal bir varsayımla sorunu çözdü: Dalganın enerjisi her değeri alamaz. Dalga parçacıklardan (kuantumlardan) oluşur ve bu parçacıkların her birinin enerjisi E dalganın frekansına orantılıdır. Yani

 E = hf

Burada h de şimdi adına Planck sabiti dediğimiz orantı katsayısı.  Bu durumda her bir dalga her enerji değerini değil sadece n = 0,1,2,3… vs kaç kuantum bulunduğuna göre nhf enerji değerlerini taşıyabilir. Bunların da Boltzmann olasılık formülüyle ağırlıklı ortalamasını aldığımızda her bir dalga türünün termodinamik dengede taşıyacağı ortalama enerji artık kBT değildir.  Ortalama enerji hem sıcaklık T ye hem de frekansa bağlı içinde h sabiti de bulunan daha karmaşık bir formülle ifade edilir.

Ortalama enerjiyi aynı frekanstaki dalgaların sayısını veren f2 ile de çarpınca çıkan formül tam tamına deneyde gözlenen ışınım spektrumunu vermesin mi?  Planck’ın hesapladığı formül gözlenen karacisim ışıması spektrumuna uyarlandığında sabitin değeri de h = 6.3  10-34 Joule saniye olarak bulunuyor.

Planck böylece dalgaların aynı zamanda parçacıklardan oluştuğu gibi kimsenin anlayamadığı bir varsayımla, termodinamik dengedeki ışımanın özelliklerini tam da gözlendiği şekilde hesaplamayı başardı. Nedeni anlaşılamasa da klasik fiziğin bu kadar kötü çuvalladığı temel bir sorunda gözlemlerle tamtamına uyan bir  açıklama, herhalde doğru olmalıydı. Elektromanyetik dalgalar parçacıklardan yani kuantumlardan oluşuyordu, bu kuantumlara ‘foton’ diyoruz.

Işığın parçacık olma haline bir örnek daha: Fotoelektrik olay

Dalgaların, bu arada ışığın, E = hf ilişkisine uyan parçacıklar (kuantumlar) dan oluştuğu fikri tamamen farklı bir dizi deneyin, fotoelektrik olayın açıklamasını da getirdi. Bir metale ışık gönderildiğinde metalden dışarı elektronların fırladığı gözleniyordu. Daha parlak ışık gönderilirse daha çok sayıda elektron çıkıyordu. Ama ışık ne kadar parlak olursa olsun çıkan her bir elektronun enerjisi değişmiyordu.  Çıkan elektronların enerjisinin  ancak ışığın frekansıyla arttığı gözleniyordu. Yani frekansı daha yüksek olan mavi ışığın aynı metalden çıkarttığı elektronlar, daha düşük frekanslı kırmızı ışığın çıkarttığı elektronlardan daha enerjikti. 1905 yılında Einstein fotoelektrik olayın Planck varsayımıyla açıklandığını gördü.

Metale gelen ışığın E = hf enerjili her bir fotonu enerjisini bir elektrona aktarıyor. Bu enerji bağlanma enerjisini (B) aşıyorsa elektron metaldan sökülüyor ve electron serbest kalıyor. Serbest kalan elektronun enerjisi

Eelektron = hf-B

oluyor. Yani belirli bir metalden çıkan elektronların enerjilerini artırmanın tek yolu frekansı arttırmak.

Fotoelektrik olayda çıkan elektronların enerjileri ile gelen ışığın frekansı (rengi ) f arasında gözlenen ilişki tam da böyle. Böylece fotoelektrik olay deneylerinden elektronların o metale bağlanma enerjileri  ile birlikte Planck sabiti h nin değeri de kara cisim ışımasından tamamen bağımsız, apayrı bir bağlamda elde ediliyor ve yine aynı h değeri bulunuyor. Demek ki Planck sabiti evrensel bir doğa sabiti. Planck sabiti başka birçok fizik olayında da önemli rol oynuyor.

Bundan sonraki yazılarda kuantum mekaniğinin atom yapısını nasıl çözdüğünü ve periyodik tablonun kuantum mekaniğiyle nasıl anlaşıldığını ele alacağız.

Ali Alpar
Bilim Akademisi üyesi
Sabancı Üniversitesi Mühendislik ve Doğa Bilimleri Fakültesi öğretim üyesi

1 Yorum