Abel ödülü, 2003 yılından beri matematiğe en üst düzey evrensel katkılar yapmış ve matematiğin sınırlarını genişletmiş olan matematikçilere Norveç Fen ve Edebiyat Akademisi tarafından veriliyor. Fields Madalyası ile birlikte günümüzün en prestijli matematik ödülü olarak kabul edilen Abel Ödülü’nü bu sene Princeton İleri Araştırmalar Enstitüsü’nden Robert P. Langlands aldı. Langlands ödüle 1966 yılında fikrini ortaya attığı, şu an matematik literatüründe Langlands Programı olarak adlandırılan “Temsil Kuramı ile Sayılar Kuramını bağlayan ve bu temel konuların geleceğini öngörüp resmeden” açık sorulardan oluşan devasa programından dolayı layık görüldü. Bu haber, Norveç Fen ve Edebiyat Akademisi başkanı Ole M. Sejersted tarafından 20 Mart 2018 günü duyuruldu.
1936 yılında New Westminster Kanada’da doğan Langlands, lisenin son sınıfındayken yeteneğini fark eden bir öğretmeninin teşvik etmesi ile üniversite okumaya karar verir ve Vancouver’da bulunan British Columbia Üniversitesi Matematik Bölümü’ne devam eder. Yale Üniversitesi’nden iki senede Doktora derecesini alan Langlands, 1960 yılında Princeton Üniversitesi’nde öğretim görevlisi olarak çalışmaya başlar. Burada, daha Yale’de doktora öğrencisiyken ilgilenmeye başladığı Otomorf Formlar ve Selberg İz Formülü konularını çalışmaya devam eder. Bu esnada, Bochner’in ve muhtemelen Harish-Chandra’nın teşviği ile, Sınıf Cisim Kuramı üzerine de bir lisansüstü ders vermektedir. Bu teoriyi öğrenmesi Langlands için bir dönüm noktası olacaktır, çünkü 1966 kışında Otomorf formlar (özellikle Eisenstein serileri) ile Sınıf Cisim Kuramının bir karışımı olan Langlands Programının temel sanıları olarak niteleyebileceğimiz “Fonktörsellik” ve “Karşılıklılık” ilkelerini ortaya atar. Daha sonra, bir sene (1967-1968) ODTÜ Matematik Bölümü’nde olmak üzere, Yale Üniversitesi Matematik Bölümü’nde öğretim üyesi olarak çalışır. Langlands, 1972 yılından beri Princeton İleri Araştırmalar Enstitüsünde daimi araştırmacı olarak çalışmalarını sürdürüyor…
Şimdi kısaca Langlands’ın Programı’nın ne olduğundan teknik detaylara girmeden en basit haliyle bahsedelim: Matematiğin (veya Fiziğin, genel olarak Felsefenin diyelim) en önemli ilkelerinden birisi “dualite” adı verilen ikililik ilkesidir. Bu ilke ile aynı objeye iki farklı bakış açısı ile bakılması kastediliyor. Mesela bir “dualite makinesi” tasarlasaydık, muhtemelen holografik kartlara benzer bir obje tasarlamamız gerekirdi; şöyle ki, kartı sola çevirince 1. teoriyi, sağa çevirince de 2. teoriyi okuyacağımız bir holografik kart… Matematikte dualite kavramına bir örnek olarak, belli çeşit geometrilerin (kompleks geometri ve simplektik geometri) arasındaki dualiteyi verebiliriz. Bu dualite fizikçilerin çalışmaları sonucu meydana çıkmıştır ve “ayna simetrisi” olarak adlandırılır. Ayna simetrisi güncel fiziğin ve matematiğin mühim problemlerinden birisidir.
Konumuza geri dönecek olursak, Cebirsel Sayılar Kuramının en merkezi objesi Gal(Q) ile gösterilen, mutlak Galois grubu olarak adlandırılan, ve bünyesinde tüm aritmetik bilgiler kodlanmış olan, devasa ve gizemli bir topolojik gruptur. Bu grubun yapısını ve özelliklerini anlamak için de Gal(Q) grubunun sürekli (sonlu imgeli) n-boyutlu ρ temsillerini ve bu temsiller tarafından türetilen L(s,ρ) Artin L-fonksiyonlarını çalışmamız gerekir. Öte yandan, Langlands tarafından tanımlanmış olan GL(n,AQ) adel katsayılı matris grubunun (sonsuz-boyutlu) π otomorf temsilleri ve bu temsiller için L(s,π) otomorf L-fonksiyonları mevcut. Langlands Programının en basit durumunu şu şekilde “kabaca” özetlemek mümkün:
GL(n) grubu için Langlands Karşılıklılık İlkesi– Gal(Q) grubunun n-boyutlu temsilleri ile GL(n,AQ) adel grubunun otomorf temsilleri arasında doğal biricik bir ρ→πρ eşlemesi mevcuttur, öyle ki L(s,ρ)=L(s, πρ) eşitliği sağlanır.
Elbette yukarıda kabaca özetlenen ilke Langlands Programı’nın olası en basit örneklerinden ve halen Sayılar Kuramının en önemli açık problemlerinden birisidir. Bu problemin n=1 özel hali bize sınıf cisim kuramını vermektedir, ve n>1 durumu da abelyen–olmayan sınıf cisim kuramı olarak düşünülmektedir.
Sonuç olarak Langlands Programını teorileri birleştiren, teoriler-üstü bir ilke olarak düşünmek mümkün. Şöyle ki, sadece Sayılar Kuramı üzerine çalışan araştırmacıların ilgi duyduğu Langlands Programı, son zamanlarda Cebirsel Topoloji, Geometri hatta Fizik üzerine çalışanların da karşısına çıkıyor. Örneğin yukarıda bahsi geçen kompleks geometri ile simplektik geometriyi birleştiren ayna simetrisinin Langlands Programının özel bir örneği olduğu düşünülüyor. Veya Rus matematik ekolünün (özellikle Drinfeld’in ve Beilinson’un) geliştirmekte olduğu “Geometrik Langlands Kuramı” ile “Kuantum Langlands Kuramı” kuramsal fizikçilerin çok ilgisini çekiyor…
Peki, Langlands Programını oluşturan problemler tam olarak ispatlanmış durumda mı? Ne yazık ki hayır… Pek çok ilerleme kaydedilmiş olmasına rağmen problemlerin çoğunluğu halen açık durumda… Yani yapılması gereken çok iş var!
Bu kısa yazıyı burada tamamlarken, ülkemizle bağını hiç koparmamış olan, Bilim Akademisi onursal üyesi Profesör Robert P. Langlands’a matematiğe yapmış olduğu muazzam katkılarından dolayı saygılarımızı gönderiyoruz…
K. İlhan İkeda
Boğaziçi Üniversitesi Matematik Bölümü öğretim üyesi
