Bozuk saat bile günde iki defa doğruyu gösterir (mi?)

Wikimedia Commons

“Bozuk saat günde iki defa doğruyu gösterir” ifadesi dilimize İngilizceden gelmiştir. Genellikle pek çok söz söyleyen ama sözlerinin çoğu yanlış olan kişileri eleştirmek için kullanılır, çok konuşan birinin söyledikleri içerisinde bazılarının (tesadüf eseri) doğru olacağını vurgular. Açıkçası bu benzetmeyi hak edenlerin sayısı gün geçtikçe artıyor. Bilhassa medyada sık sık boy gösterip her konuda fikir beyan edenleri gördükçe bu ifade akla geliyor.

İnternet kaynakları, bu deyişin tarihinin 18. yüzyıla kadar uzadığını, 1711’deki “The Spectator” dergisinde kullanıldığını yazıyor.[1]Even a broken clock is right twice a day, Common Phrases, Erişim tarihi 10 Mart 2022. Bu ifadeyi Türkçeye çevirirken bir hata yapılmış. Orijinalinde saati tanımlamak için İngilizce “broken” kelimesi kullanılmış. Burada aslında durmuş bir saatten bahsediliyor. Durmuş bir saat devamlı olarak aynı zamanı gösterecek ve dijital olmayan yani 12 dilime ayrılmış analog bir saat kullanıyorsanız bu saatin kadranı 24 saat içinde iki defa gerçek zaman ile çakışacak.

Halbuki Türkçede “bozuk” kelimesi bozulmuş olan, görevini yapamaz duruma gelmiş olarak tanımlanıyor.[2]TDK sözlük, Erişim 10 Mart 2022. Yani zamanı ölçme işlevini yapamayan saate de bozuk diyoruz; yavaş kalan veya hızlı giden bir saat de bozuktur. Bu tanım çerçevesinde başlıktaki ifade doğru olabilir mi?

Bu deyişin doğru olmadığı hakkında pek çok yazı var, ekşi sözlük’ten gazete haberlerine kadar değişik kişiler tartışmalara katılmışlar.[3]Bozuk saat bile günde iki defa doğru zamanı gösterir demeyin sakın! Zira bu iddia kökten yanlıştır, Erişim 10 Mart 2022. Hemen hepsi ifadenin eksik olduğunu söylemekle beraber bir kısmı ise deyişin tümden yanlış olduğunu iddia ediyor.

İleri giden ya da geri kalan bir saat doğruyu hiç gösterir mi?

Bu yazıda bu ifadeyi biraz daha genelleştirmek ve normalden daha yavaş veya hızlı çalışan bozuk bir saat ne kadar sıklıkla doğruyu gösterir sorusuna bir yanıt bulmak istiyorum. Probleme biraz dikkatli bakınca çok az hızlı giden bir saatin bir gün içerisinde doğru zamanı yakalayamayacağını görebiliriz ama hiç mi yakalayamayacaktır?  Bu problem düzenli bir şekilde geciken veya hızlı giden bir saat için çözülebilir.

Bir saatin göstereceği zamanı bulmak için modüler aritmetik kullanabiliriz. C.F. Gauss modüler aritmetiği 19. yüzyılda tam sayılar için tanımlamış ama tam sayıların dışında da kullanılması mümkün.

Önce doğru çalışan saate bakalım. Zaman düzenli olarak arttığı halde saatin göstergesi 12 saatlik periyotlar halinde kendini tekrar ediyor. Bu durumda problemi çözmek için $\mathrm{mod}$ fonksiyonunu kullanabiliriz. $t$ zamanında “gerçek” saatin kadranındaki ($G$) bilgiyi

$$G =t~\mathrm{mod}~ 12$$

şeklinde ifade edebiliriz. Yani $t$ sayısından 12’nin bütün katlarını çıkarınca kalanına $G$ diyoruz.

$$G= t- 12\cdot k ~~~~~~~k=0, 1,2,3….$$

Örneğin $t=14$ ise $G=14-12=2$ olacaktır. $t=27$ için ise $G=27-2\cdot 12 =3$ değerini buluruz, yani 27 saat sonra saate yeniden bakarsak ilk seferinden 3 saat farklı bir değer okuruz.

Şimdi “bozuk” saatimizin günde $d$ saat kadar hızlı gittiğini varsayalım. Bu saatin hızının normal zamanın akışına oranı

$$h=\frac{24+d}{24}$$

olur ve bozuk saatin geçtiğini iddia ettiği zaman:

$$t_B = h\cdot t$$

olur. Buradan da bozuk saatin kadranındaki değişimi bulabiliriz:

$$B = t_B~\mathrm{mod}~ 12= h \cdot t ~\mathrm{mod}~ 12$$

$G=B$ olduğunda bozuk saat gerçek saati gösterecek. Şimdi bu denklemin çözümlerine bakalım. Saatlerin periyodik davranışları nedeniyle $G=B$ denkleminin sonsuz çözümü var ve iki fonksiyonun kesiştiği noktalarda gerçek saat ve bozuk saat görüntüleri aynı olacak.

$$G=B$$

$$t ~\mathrm{mod}~ 12 \equiv t_B ~\mathrm{mod}~ 12$$

$$t- 12\cdot k_1=h\cdot t -12\cdot k_2$$

$$h\cdot t- t =t(h-1)=12\cdot (k_2-k_1) $$

ya da

$$t=\frac{12\cdot k}{h-1}$$

olarak buluruz. $k$ bir tam sayıdır.  Bu formüle $k=1$ için $h$ değerinin $d$ cinsinden tanımını koyarsak

$$t=\frac{288}{d}$$

buluruz. Yani bozuk bir saat günde $d$ saat kadar hızlı gidiyorsa $t=288/d$ kadar zaman sonra ilk defa doğru zamanı gösterecek. Eğer saat günde $d$ kadar geri kalıyorsa, simetri nedeniyle (doğru ve bozuk saatlerin yerleri değiştirilebilir) çözüm aynı olmak zorunda.

Geçen 24 saat sürede gerçek saatin kadranı turuncu noktalar, günde 16 saat hızlı giden bozuk saatin kadranı gri noktalar ile gösterilmiştir. 18 saat sonunda iki saatin kadranı ilk kez örtüşecek.
Tabloda ve grafikte farklı gecikme sürelerine $d$’ye göre, bozuk saatin ilk defa doğru zamanı yakalaması için geçmesi gereken zaman gün olarak veriliyor. Günde 12 saat veya daha çok geciken bir saat, bir gün içinde gerçek saatle örtüşüyor.

Sonuç olarak bozuk saatler de bazen doğruyu gösterir;  günde 12 saatten fazla geri kalan veya ileri giden bir saat ise ilk gün içerisinde bir kez doğruyu gösterecektir.

Ersin Yurtsever
Bilim Akademisi üyesi, Koç Üniversitesi Kimya Bölümü

Modüler aritmetik konusundaki yardımları için Koç Üniversitesi, Elektrik-Elektronik Bölümü’nden Alper Erdoğan’a teşekkür ederim.  


Creative Commons LisansıBu eser Creative Commons Atıf-GayriTicari 4.0 Uluslararası Lisansı ile lisanslanmıştır. İçerik kullanım koşulları için tıklayınız.


Notlar/Kaynaklar

Notlar/Kaynaklar
1 Even a broken clock is right twice a day, Common Phrases, Erişim tarihi 10 Mart 2022.
2 TDK sözlük, Erişim 10 Mart 2022.
3 Bozuk saat bile günde iki defa doğru zamanı gösterir demeyin sakın! Zira bu iddia kökten yanlıştır, Erişim 10 Mart 2022.
Önceki İçerikAvrupa’da açık erişim ve araştırma değerlendirmesi üzerine umut verici gelişmeler
Sonraki İçerikMeraklısına Bilim: Devletin ekonomideki yeri nasıl olmalı? 
Ersin Yurtsever

Bilim Akademisi üyesi Ersin Yurtsever,  ODTÜ Kimya Bölümü’nden 1971 yılında lisans ve 1973 yılında yüksek Teorik Kimya dalında yüksek lisans derecesini aldı.  Virginia Commonwealth Üniversitesi’nde (ABD) yaptığı Kimya doktorasını 1976 yılında tamamladı. Araştırma alanı, kimyasal olayların matematiksel modellemeleridir.

ODTÜ Kimya Bölümü’nde öğretim üyeliği (1980-1995), ODTÜ Eğitim Fakültesi Dekanlığı (1993-1995), Türkiye Bilimler Akademisi (TÜBA) Yönetim Kurulu üyeliği (1997-2001), Koç Üniversitesi Fen ve İnsani Bilimler Fakültesi Dekanlığı (2001-2008), Koç Üniversitesi Fen Fakültesi Dekanlığı (2008-2010) yaptı.

1995’ten bu yana da Koç Üniversitesi Kimya Bölümü’nde öğretim üyesi olan Ersin Yurtsever, Bilim Akademisi’nin kurucu üyelerindendir ve 2011-2017 yılları arasında yönetim kurulu üyeliği yapmıştır.