“Breaking bad” dizisi ve Permütasyon Problemleri

Breaking Bad dizisi, 1. sezon, DVD kapağından.

Matematiğin problemleri anlaması en kolay ama çözümleri en zor olan dalının sayılar teorisi olduğu söylenir. Fermat’ın son teoremini herkes anlar ama ispatının Fermat’dan yüzlerce yıl sonra yapılabilmesi bunu gösterir. Üstelik bu ispatı anlayabilen matematikçi sayısı da herhalde çok azdır. Ramanujan’ın hayatını okuyanlar veya filmini (The Man Who Knew Infinity) görenler orada Ramanujan’ın ispatlamadan çözdüğü problemlerin neler olduğunu anlarlar. Ama bunları ispat etmek için de Hardy gibi bir matematik üstadına ve yıllara ihtiyaç duyulmuştur.

Quanta dergisi geçenlerde bu problemle ilgili ilginç bir makale yayınladı.  Problemi şöyle anlatmaya çalışalım. Çokça seyredilen “Breaking Bad” dizisi ilk yılda 7 bölüm olarak hazırlanmıştır. Ülkemizde bu seriyi gösterecek kanal da diziyi satın aldıktan sonra bir hata yapıp bu bölümleri rastgele bir sıra ile yayınlar.

Diyelim bu televizyon kanalı, iyice kafamızı karıştırmak için, 7 bölümü olası tüm sıralamalarla yayınlamak isteseydi, en kısa listede kaç bölüm olurdu?

Sorunun ilk kısmında şunu bulmalıyız: Bütün bölümler kaç değişik şekilde yayınlanabilir? Örnek olarak 2 bölümlü bir seriyi alalım; sıralar (1,2) veya (2,1) olabilir. Eğer dizide 3 bölüm varsa (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2) ve (3,2,1) olabilir. Kolaylıkla görülebileceği gibi sonuçta $n$ bölümlü bir dizi $n!$ ($n$ faktöriyel) değişik sırada yayınlanabilir.

$$n!=1\times 2\times 3\times …\times n$$

Şimdi bu değişik sıralamaları öyle bir şekilde yazalım ki, bütün olasılıklar içerisinde bulunsun. Bunu yapmanın en kolay yolu, $n!$ sıralamayı arka arkaya bir dizi haline getirmektir.

  • 2 bölüm için bu (1,2,2,1)
  • 3 bölüm için ise (1,2,3,1,3,2,2,1,3,2,3,1,3,1,2,3,2,1) olur.
    Bu iki örnekten sıranın uzunluğunun $n\times n!$ olduğu açıktır; her bir terimde $n$ sayı var ve bunlardan da $n!$ adet bulunuyor.

Tabii bu çözüm yayın işini gereksiz uzatıyor. 2 bölüm aslında (1,2,1) olarak izlenirse bütün sıralamaları içerir. $n=$3 için ise (1,2,3,1,2,1,3,2,1) yeterlidir. Bu sıralamalar olası her permütasyonu içerdiği için “süperpermütasyon” olarak adlandırılır.

Zor olan problem herhangi bir $n$ için en kısa süperpermütasyonda kaç terim olacağının bulunmasıdır.

1993 yılında en kısa süperpermütasyon sorusuna bir yanıt veriliyor:

  • $n=$2 için $2!+1!=3$
  • $n=$3 için $3!+2!+1!=9$
  • $n=$4 için ise $4!+3!+2!+1!=33$
    ($n=$2 ve 3 için doğru olduğu yukarıda görülebilir, $n=$4 halini ise okuyucuya bırakıyoruz ama kolay olmadığı kesin). $n=$5 için de bu formülün çalıştığı da gösterilmiş (muhtemelen bilgisayar yardımı ile).

2014’te $n=$6 için formülde sorun olduğu bulunuyor. Yukarıdaki faktöriyel formülü 873 terimli bir sıra verdiği halde, Robin Houston isimli matematikçi 872 terim ile her olası sırayı dizebiliyor.

Sıra dışı katkılar

2011 yılında, tamamen farklı bir dünyada bir anime hayranı, 4chan sitesinde bir Japon anime dizisi için şu soruyu paylaşmış:  “14 bölümlük diziyi olası her sıralamada izlemek için en kısa liste kaç bölümden oluşur?”.

Sorunun yayınlanmasından kısa bir süre sonra anonim bir isim, bir ispat ile birlikte bir alt sınır olarak 93,884,313,611 sayısını duyurmuş. Bu ispat uzun süre kimse tarafından ilgi görmemiş ama geçen ay Avustralya’lı  Bilim-kurgu yazarı Greg Egan tarafından yenilendiğinde yeniden gündeme gelmiş. Egan listedeki bölüm sayısına bir üst sınır buluyor. Bu iki ispat da matematikçileri 25 yıldır uğraştıran bir problem için önemli adımlar sayılıyor.

Formülü mü bilmek istiyorsunuz? Anonim matematikçinin alt limit formülü

$$n!+(n-1)!+(n-2)!+(n-3)$$

Egan’ın üst limit formülüne çok yakın:

$$n!+(n-1)!+(n-2)!+(n-3)!+(n-3)$$

Matematikçiler bu iki formülü bir araya getirip süperpermütasyon probleminin kesin çözümünü bulmak için çalışıyorlar.  Bu arada şu sıralar bilgisayarlar yardımı ile $n=$6 için en kısa superpermütasyon da aranıyor ama ne zaman yanıt bulunacak belli değil.

Ersin Yurtsever
Bilim Akademisi üyesi
Koç Üniversitesi Kimya Bölümü öğretim üyesi

Erica Klarreich, Mystery Math Whiz and Novelist Advance Permutation Problem, Quanta Magazine, Kasım 2018.