Kapı Açma Oyununda Arabayı Kapmak*

Diyelim televizyonda bir oyun izlencesine katıldınız. Sunucu size üç kapı gösterdi. Kapıların birinin ardında çok pahalı ve kocaman bir lüks araba var, öbür iki kapının ardındaysa birer havuç var.  Havuçlar da kocaman ama ne de olsa sadece havuçlar! Kapıların birini seçeceksiniz. Amacınız arabanın olduğu kapıyı seçmek elbet. O zaman araba sizin oluyor; yoksa havuçla yetineceksiniz. Sunucu arabanın hangi kapının ardına olduğunu biliyor.  Siz kapıyı seçtikten sonra, ama daha kapıyı açmadan önce, sunucu, geriye kalan iki kapıdan ardında havuç olanını açıp size havucu gösteriyor ve,

–Dilerseniz kapınızı değiştirebilirsiniz, diyor.

Oyunun kuralı bu.  Sunucu bu iyiliği salt size değil, herkese yapıyor.

Kapıyı değiştirmeli misiniz, yoksa değiştirmemeli misiniz? Arabayı kazanma olasılığı artırmak için ne yapmalı?

Belki de değiştirip değiştirmeyeceğinize yazı-tura atarak karar vermelisiniz.

Yazının burasında yarım saat sessız kalıp okura düşünme payı vermek isterdim. Yanıt şaşırtıcı, ve işin püf noktası anlaşıldığında göz yaşartıcı güzellikte.

Yazı-Tura atılırsa.

Kapıyı değiştirip değiştirmemek konusunda karar vermek için yazı-tura atarsanız, arabayı kazanma olasılığını $1/2$’dir; çünkü açılmamış iki kapıdan salt birinin ardında araba var.  Yazı-tura atarsanız arabayı $1/2$ olasılıkla bulacaksınız.

Kapı değiştirilmezse.

Şimdi kapıyı değiştirmediğinizi varsayalım. Buna A varsayımı diyelim. A varsayımında arabayı seçme olasılığınız $1/3$’tür, çünkü üç kapıdan birini seçtik, ve salt bir kapının ardında araba var, sunucu ardında havuç olan bir kapıyı açmış ya da açmamış, umurunuzda değil, çünkü ilk seçtiğiniz kapıdan şaşmayacaksınız.

$1/2$, $1/3$’ten daha büyük olduğuna göre, yazı-tura atmayı, kapıyı değiştirmemeye yeğlemelisiniz.

Kapı değiştirilse.

Şimdi de kapıyı değiştirdiğimizi varsayalım. Bu varsayıma B varsayımı diyelim. B varsayımında kazanma olasılığınız kaçtır? Gene $1/3$ müdür? Yoksa $1/2$ midir?

Ne $1/3$ ne $1/2$!

B varsayımında nasıl kazanabilirsiniz? Ancak seçtiğiniz ilk kapının ardında araba yoksa kazanabilirsiniz. **

Seçtiğiniz ilk kapının ardında araba olmama olasılığıysa $2/3$tür. Dolayısıyla, B varsayımında kazanma olasılığı $2/3$’tür.  $2/3$, $1/3$ten ve $1/2$den büyük olduğundan kapınızı değiştirmelisiniz.

Bu açıklamalarımla ikna edemediğim bir okuruma şu örneği verdim: Diyelim, üç değil, yüz kapı var, ve yalnız birinin ardında araba var.  İlk seçiminizden sonra, sunucu arkasında havuç bulunan 98 kapıyı açıp size havuçları gösteriyor.  Kapınızı değiştirir misiniz, değiştirmez misiniz? Değiştirirseniz, arabayı kazanma olasılığınız %99dur.  Değiştirmezseniz %1dir.

Eğer kapı değiştirmenin en iyi strateji olduğuna sizi inandıramamışsam, bir arkadaşınızla bu oyunu birkaç kez oynayın. Arkadaşınız üç kapının (ya da kutunun) ardına bir nesne koysun ve o nesneyi bulmaya çalışın.  Önce yüz kez yazı-tura atın, sonra yüz kez kapı değiştirmeyin, sonra yüz kez kapı değiştirin. En çok kapı değiştirdiğinizde nesneyi bulduğunuzu göreceksiniz.

**İşin püf noktası burada. Eğer ilk seçiminizde arabayı bulamamışsanız, ki $2/3$ olasılıkla bulamazsınız, kapıyı değiştirdiğinizde arabayı kesinkes bulursunuz.

Ali Nesin
Bilim Akademisi üyesi
Bilgi Üniversitesi, Matematik bölümü öğretim üyesi

*Bu yazı Ali Nesin’in Matematik ve Oyun kitabındaki “Dünyanın En Zeki İnsanı Matematikçilere Karşı” başlıklı bölümden uyarlandı.