Üssel artış nedir, COVID-19 nasıl yayılıyor?

Diyelim ki bugün salgının sıfırıncı günü, başlangıç noktası ve hasta sayısı H0.

Kendisi hastalık işaretleri göstermiyor olsa bile virüsü bulaştırabilen kişileri ‘hasta’ sayıyoruz. Hastalığın bulaşması mevcut hastaların temasları ile oluyor. Yani yeni hasta sayısı mevcut hasta sayısına orantılı.

Diyelim ki hastalık bir gün içinde mevcut hastaların (H0) belli bir oranı y kadar yeni bireye yayıldı.  Şimdi salgının nasıl yayıldığını izleyelim.

Birinci günün sonu: H1 = H0 + H0 y = H0 (1 + y) . 
İkinci güne H1 kadar hastayla başlanıyor. Bunlar da aynı oranda  bulaştıracaklar.
İkinci günün sonu: H2 = H1 (1 + y) = H0 (1 + y)2  .
Üçüncü günün sonu: H3 = H2 (1 + y) = H0 (1 + y)3  .

Böyle böyle hasta sayısı her gün (1 + y) ile çarpılararak artacak. Bu hesabı g gün için devam ettirirsek sonunda hasta sayısı Hg= H0 (1 + y)g  olacak.

Artış hızını belirleyen y nasıl hesaplanır?

Hasta kişilerin her biri gün boyunca hastalık kapmaya açık a adet kişiyle karşılaşıyorsa, bu karşılaşmaların her birinde diğer kişiye hastalık bulaştırma olasılığı da b ise o zaman y = ab olacak.   b hasta kişinin durumu ve davranışı kadar temas edilen, hastalığı kapabilecek kişinin de yaşı, başka hastalıkları, bağışıklı sisteminin durumuna da bağlı.

Şimdi de sayılarla günlük artışa bakalım :

Hasta kişi başına günde ortalama a ­= 10 karşılaşma oluyorsa, bu karşılaşmalarda ortalama hastalık bulaşma oranı da b = 0,001 ise, y ­= ab ­= 0,01 olur.  H0 =10 000 hasta varken bir gün sonra hasta sayısı 10 100 olur. Dört gün sonra ise H4 = 10 000  (1,01)4 = 10 406 hasta olur.

Oysa her hasta günde 20 karşılaşma yapıyorsa ve bulaşma oranı da b = 0,05 olsa, y ­= 1  olur. Bu durumda 10 000 hastayla başlayan sayı her gün 2 kat artarak bir gün sonra H1 = 20 000, iki gün sonra H2 = 40 000, üç gün sonra H3 = 80 000, dört gün sonra H4 = 160 000 hastaya ulaşır.

Bir örnek daha: her hasta günde 100 karşılaşma yapıyorsa ve bulaşma oranı da b = 0,09 olsa, y ­=  9  olur. Bu durumda 10 000 hastayla başlayan sayı her  gün 10 kat artarak bir gün sonra H1 = 100 000, iki gün sonra H2 = 1 000 000, üç gün sonra H3 = 10 000 000, dört gün sonra H4 = 100 000 000 hastaya ulaşır.

Üç örneği gösteren tablo:

İşte üssel büyüme böyle bir şey. Her geçen gün artış bir gün önceki günlük artıştan fazla. y ne kadar büyükse günden güne artış o kadar daha büyük.  Madalyonun iyi tarafı, eğer alınan tedbirlerle bulaşma oranı y’yi küçültürseniz hasta sayısının artışına üssel olarak etkili olursunuz. Mesela temasları azaltarak a’yı, elleri yıkayarak, hastayken maske takarak  b’ yi azaltırsak sonunda y oranındaki 9 kat azalma sonucu örneklerde görüldüğü gibi 10 bin ile başlayan hasta sayısı 4 gün sonra ise 100 milyon değil 625 kat azalarak 160 bin olur; tedbirler 900 kat iyileştirilince hasta sayısı 9610 kat azaltılabilir.

Yani tedbirler son derece, üssel derecede etkili.

Bu grafikteki çizgilerin eğimi dediğimiz artış oranını yansıtıyor (logaritmik ölçekte çizilmiş olduğundan dikey eksendeki aralıklar eşit değerde değil). Zamanla alınan tedbirlerle bazı ülkelerde artış oranı y nin azaldığını görüyoruz. Hong Kong, Singapur ve Japonya’da ise artış oranı y baştan beri düşük. Grafik KLİMİK başkanı Alpay Azap’ın twitter hesabından alındı (https://twitter.com/AlpayAzap/status/1240190707404615681?s=20). Kaynak bilinmiyor.

Hasta sayısının artış grafiklerine baktığımızda birçok ülkede benzer şekilde bir üssel artışı görüyoruz. Hong Kong, Singapur ve Japonya’da baştan beri, Güney Kore’de ise alınan tedbirlerden sonra üssel artış çok daha yavaş. Bunda alınan tedbirler kadar bu toplumlarda kültürel faktörler, yani insanların kurallara uymaları ve başkalarını düşünmeleri herhalde rol oynuyor. Japonya’da özel bir salgın yokken de hastalıklarını başkalarına bulaştırmamak için maskeyle gezen bir sürü insan görürsünüz.

Erken tedbirin önemi

Bir ülke tedbir almaya ne kadar erken başlarsa, hasta sayısı az iken başlandığı için salgın daha az büyür. Mesela tedbir almaya 10 000 hasta varken değil 10 hasta varken başlanırsa y = 0.01 (en tedbirli)  modelde dört gün sonra 10,4 hasta, y = 1  olursa dört gün sonra 160 hasta,  y = 9 (tedbirsiz) modelde bile dört gün sonra 100 bin hasta olacak, 100 milyon yerine.

Buradaki zorluk şu: hasta ve bulaşıcı kişiler en baştan itibaren hastalık belirtileri göstermedikleri, hastalık belirtileri çıkınca da belki haber vermedikleri için, yöneticiler bazen zor bir takım kararlar vermekte geciktikleri için, hastalığı tespit eden testler / maske vb.  imkanlar eksik kaldığı için hastalık belli bir sayıya ulaşmadan tedbir alınamıyor. Birkaç tane hastalık belirtisi gösteren hasta ortaya çıkınca hemen tedbirler uygulanırsa, yayılma hızı etkili bir biçimde düşürülebiliyor. Ne kadar erken ne kadar anlamlı (gerçekçi ve uygulanabilir, yani paniksiz) tedbir olursa o kadar iyi.

Henüz belirti göstermeden bulaşıcı olan ya da sağlık sisteminin haberdar olmadığı, kaydı olmayan hastaların toplam sayısı içinde istatistiklere yansıyan hastaların oranı küçük bir oran olabilir. Ama bilinmeyen gerçek hasta sayısını bu oranla çarpınca istatistiklere yansıyan hasta sayısı bulunduğuna göre, istatistiklerden hastalığın gerçek büyüme veya sönme eğilimlerini belirleyen y sayılarını ölçebiliyoruz

Bütün bu hesaplarda tüm toplum için ortalama değerler önemli. Herkes elinden geldiğince kendi temas sayısını düşürürse, ama özellikle çok kişiyle sık sık temas edenler (öğrenciler, öğretmenler mesela) bu temasları azaltırlarsa veya keserlerse ortalama a sayısı düşer. Öte yandan başta sağlık çalışanları, yaptıkları iş gereği temas sayısını değiştiremeyenler de ilave tedbirlerle b’yi düşürebilirler. Hastalık yayılırken bazı bireylerin bağışıklık sistemleri virüse tepki vererek  b’yi azaltıyorlar. Bu noktada çocuklar ve gençler avantajlı, yaşlılar ve başka hastalıkları olanlar, özellikle bağışıklık sistemi sorunları olanlar da dezavantajlı. Bir de hastalık geçirip iyileşenler büyük ihtimalle bağışıklık kazanabilecekler. Bu da ortalama b’yi düşürecek.

Salgının bulaştığı ve vakaların çok olduğu bilinen yerlerde ilave olarak daha sıkı tedbirlerin uygulanması gerekir. Sonuçta önemli olan toplumun tümünün ortalama y oranı. Tabii şart olmayan durumlarda çok sayıda insanla yakın temas ortamına giren ve insanları bu ortamlara girmeye davet eden veya izin verenler,  karantinadan kaçan veya karantina uygulanması gereken durumların bazılarında veya tümünde karantina uygulamayan yöneticiler de ortalama y değerini artırarak salgının yayılmasına üssel bir katkı yapıyorlar.

Bu arada evrim de rolünü oynuyor. Virüsler de tüm canlılar gibi rastgele biçimde mutasyona uğruyor, yani özelliklerini belirleyen ve başka virüslere aktaran RNA moleküllerinde ufak değişiklikler oluyor. Bunların bazıları virüsün etkinliğini ve bulaşıcılığını artırıyor. Virüsün kozu çok çok hızlı çoğalması; yani evrim virüsler için birkaç gün içinde gelişen bir silah. Virüsün işine yarayan mutasyonlar çok çok hızla öne çıktıkça virüs popülasyonu insana daha zararlı, daha bulaşıcı hale gelebiliyor.  Virüslerin mutasyon ve evrimi ile b sayısı birkaç hafta içinde artabilir.

İnsanın bu mücadeledeki tek temel silahı ise bilinci ve aklı, işte aklımızla ne olup bittiğini ve neler olabileceğini anlıyor. Ona göre tedbir geliştirebiliyoruz, sağduyumuzu kullanırsak.

Sonra ne olacak? 

Aradan bir süre geçince hastaların bazıları iyileşmeye başlayacak, bir kısmı da ölecek. Zaman içinde artık hasta olmayanların ve bağışık olanların sayısı artacak.

Birim zamanda iyileşen hasta oranı i kaybedilen hasta oranı da k olursa, hasta sayısı birim zamanda toplam x = i + k oranında azalacak. Net artış oranı her birim zamanda y – x kadar olacak, öyleyse hasta sayısı her gün ( 1 + y – x ) ile çarpılacak, daha yavaş artacak.

Bu yazı yayınlandığında birçok ülke bu evrede. Ama bu arada tedbirlerle y’yi de düşürebiliriz. Tabii iyileşme oranı i’ yi artırmaya ve ölüm oranı k’ yi azaltmaya da çalışılıyor, ama hastalığın ilacı ve/veya aşısı bulunana kadar bu oranlar ve dolayısıyla ortalama x oranı pek değişmeyecek. Eğer y = x sağlanmışsa hastalık artık ne artıyor ne de azalıyor, her hafta yeni hastalık kapanların sayısı ile iyileşen veya ölenlerin sayısı denk demektir. Tedbirlerle y’ nin azalması devam ederse artık hastalık azalmaya başlayacak, y – x artık negatif bir sayı. Bu da üssel azalma. Çin’in şimdi ulaştığı safha bu. Eninde sonunda üssel
azalma ile hasta sayısı sıfıra inecek. Tedbirlerimiz ne kadar etkili olursa, yani y ne kadar küçükse hastalığın artışı üssel olarak daha yavaş sönümü ise yine üssel olarak daha çabuk olacak. Yine y sayısına çok hassas şekilde bağlı olarak sonunda bir hastalıklar, ölümler, ekonomik ve sosyal kayıplar bilançosu ile birlikte toplumlarda belli bir bağışıklık oranı ve herhalde COVID-19 için etkili bir aşı ve belki bir ilaç kalacak.

Ali Alpar
Bilim Akademisi üyesi
Sabancı Üniversitesi Mühendislik ve Doğa Bilimleri Fakültesi

Önceki İçerikMigren nedir? Neden migren gibi bir sorunumuz var?
Sonraki İçerikCep telefonları ve büyük veri COVID-19’a karşı
Avatar photo

Bilim Akademisi’nin kurucu başkanı Ali Alpar,  ODTÜ Fizik Bölümü’nden 1972’de lisans derecesini aldıktan sonra doktorasını University of Cambridge’de 1977’de tamamladı.

Ali Alpar, sırasıyla Boğaziçi Üniversitesi, Columbia University, University of Illinois at Urbana-Champaign, TÜBİTAK Temel Bilimler Araştırma Enstitüsü, ODTÜ, Sabancı Üniversitesi’nde çalıştı.  Sabancı Üniversitesi Temel Geliştirme Direktörlüğü (2004-2010), TÜBA Konseyi (1993-1997) üyeliği ve TÜBİTAK Bilim Kurulu (1993-1997) üyeliği, TÜBİTAK Popüler Bilim Kitaplarını başlatan yayın kurulu üyeliği, Türk Astronomi Derneği Başkanlığı (1992-1994; 2006-2010), Bilim Akademisi Başkanlığı (2011-2021) yaptı. Sabancı Üniversitesi Mühendislik ve Doğa Bilimleri Fakültesi emekli öğretim üyesidir.

Araştırma alanı nötron yıldızları ve pulsarlardır.

Ali Alpar’ın websitesi