Matematik ve Doğa* kitabının, Sevdiğim Birkaç Soru bölümünden:
Bir doğal sayıyı çeşitli biçimlerde doğal sayıların toplamı olarak yazabiliriz.
Örneğin 3:
3
2+1
1+2
1+1+1
olarak yazılabilir. Ya da 4:
4
3+1
1+3
2+2
2+1+1
1+2+1
1+1+2
1+1+1+1
olarak yazılabilir. Görüldüğü gibi 3’ü dört değişik biçimde, 4’ü sekiz değişik biçimde yazabiliyoruz.
SORU: Herhangi bir n doğal sayısı, doğal sayıların toplamı olarak kaç farkı biçimde yazılabilir?
YANIT: Doğru yanıtı bulmak pek zor değil. Biraz denemeyle n sayısının 2n-1 biçimde doğal sayıların toplamı olarak yazılacağı anlaşılabilir.
Yanıtın neden doğru yanıt olduğunu açıklamak için önce bir örnek alalım. 6’yı kaç biçimde doğal sayıların toplamı olarak yazabileceğimize bakalım.
6’yi altı tane 1’le yani 1 1 1 1 1 1 olarak gösterelim.
Şimdi 6=4+2 eşitliğini 1 1 1 1|1 1 olarak, 6=3+1+2 eşitliğini 1 1 1|1|1 1 olarak gösterebiliriz. Demek ki 6’yı doğal sayıların toplamı olarak yazmak demek, altı tane 1 arasında çubuk yerleştirmek demektir.
Altı tane 1 arasına kaç biçimde çubuk yerleştirebiliriz?
Çubuk yerleştirebileceğimiz 5 yerimiz var. Bu 5 yerin her birine çubuk koyabiliriz ya da koymayabiliriz. Demek ki her yer için 2 olasılığımız var: çubuk koymak ya da koymamak. Dolayısıyla 5 yer için 25=32 olasılığımız var. Sonuç olarak, 6’yı 32 değişik biçimde sayıların toplamı olarak yazabiliriz.
Herhangi bir n doğal sayısı için yanıt yukarıdaki tartışmadan anlaşılabilir.
n’yi 2n-1 biçimde doğal sayıların toplamı olarak yazabiliriz. Neden?
Yukarıdaki gibi n’yi n tane 1 ile gösterelim. Her iki 1’in arasına bir çubuk yerleştireceğiz ya da yerleştirmeyeceğiz. Her yer için 2 seçeneğimiz var: Çubuk koymak ya da koymamak. n-1 tane yerimiz olduğundan her yere çubuk yerleştirip yerleştirmemekte özgür olduğumuzdan, toplam 2n-1 seçeneğimiz vardır.
Ali Nesin
Bilim Akademisi Üyesi
Bilgi Üniversitesi Matematik Bölümü öğretim üyesi
*Ali Nesin, Matematik ve Doğa, Nesin Yayıncılık, 8. Basım, 2017.
