Şapkadan Güvercin Çıkarmak*

Dedemin ahşap evinin tam karşısında, kaldırım taşı büyüklüğünde taşlarla örülmüş, uçsuz bucaksız uzanan, yerden göğe yükselen fi tarihinden kalma bir duvar vardı. Öylesine uzun ve yüksek bir duvardı ki, pencereden bakıp duvardan başka bir şey görmek için insanın hayatını tehlikeye atması gerekirdi.  Neyin duvarıydı, ardında ne vardı, nedense hiç merak etmedim.

Dedemi her ziyaretimde, o sonsuz duvarın oyuklarında barınan güvercinleri seyrederdim pencereden. Hiçbir anlam yükleyemediğim uğultulu bir guguk sesi yükselirdi güvercinlerden.  Kanarya şakıması gibi neşe ve cilve dolu değildi bu guguk sesi. Martı ötüşü gibi cıyak cıyak ve arsız da değildi.  Hele karga gaklaması gibi ürkünç hiç değildi. Dinsel çağrışımlar uyandıran, Gregoryen şarkılarını anımsatan gizemli bir uğultuydu güvercinlerinkisi.

Güvercin sayısı oyuk sayısından her zaman daha fazlaydı; öyle ki her oyukta birkaç güvercin birden bulunurdu.  Saymasını daha yeni öğrendiğimden olacak, oyukları ve güvercinleri saymaya çalışırdım.  Oyuklar sayılmak için uslu uslu beklerlerdi de, güvercinlerle bir türlü baş edemezdim.  Aklına esen uçar gider, kimi durup dururken yer değiştirir, nereden bilinmez, bir güvercin çıkagelir, ya da iki güvercin barındırdığını sandığım bir oyuktan bir üçüncü, bir dördüncü hata kimileyin bir beşinci güvercin çıkıverirdi.

Güvercin sayısı oyuk sayısından her zaman daha fazlaydı dediğim gibi.  Yirmi oyuk varsa, barınmak isteyen otuz güvercin vardı.  Zorunlu olarak oyuklardan birinde birden fazla güvercin barınırdı.

Eğer güvercin sayısı oyuk sayısından daha fazlaysa, en az bir oyukta birden fazla güvercinin olması gerektiğinin çok yararlı ve önemli bir matematik ilkesi olduğunu yıllar sonra öğrenecektim.

Buna matematikte “güvercin yuvası ilkesi” denir.

  • Eğer 10 güvercin yuvası ve en az 11 güvercin varsa, yuvaların birinde en az iki güvercin barınmalıdır.
  • Eğer 10 güvercin yuvası ve en az 21 güvercin varsa, yuvaların birinde en az üç güvercin barınmalıdır.
  • Eğer 10 güvercin yuvası ve en az 31 güvercin varsa, yuvaların birinde en az dört güvercin barınmalıdır.

Güvercin yuvası ilkesine göre, 25 kişiye 1’le 24 arasında bir sayı verilecekse, en az iki kişiye aynı sayı düşmeli.  Bu akıl yürütme güvercin yuvası ilkesiyle şöyle açıklanabilir:

24 tane yuva olsun ve bu yuvaları 1’den 24’e kadar numaralandıralım.  25 kişiyi bu yuvalara sokacağız.  1 sayısı verilenler 1 sayılı yuvaya, 2 sayısı verilenler 2 sayılı yuvaya, 3 sayısı verilenler 3 sayılı yuvaya, …. , 24 sayısı verilenler 24 sayılı yuvaya girecekler.  25 kişi olduğundan ve yalnızca 24 yuva olduğundan yuvalardan birine en az iki kişi girmeli, yani en iki kişiye aynı sayı verilmiş olmalı.

SAÇ SAYISI

Güvercin yuvası ilkesi kullanarak şu anda Türkiye’de en az iki kişinin aynı sayıda saçı olduğunu kanıtlayabiliriz. Hem de kimsenin saçını saymadan!

Şöyle kanıtlarız: Türkiye’de şu anda 79 milyondan fazla insan yaşıyor.  Oysa bir insanın sahip olabileceği saç sayısı, o insan ne kadar saçlı olursa olsun, 79 milyondan çok daha az. Demek ki her yurttaşın saç sayısı değişik olamaz ve en az iki kişide aynı sayıda saç olmalı.

Bir insanın sahip olabileceği saç sayısının üst sınırını tam olarak bilmiyorum. Sanırım bir milyondan daha azdır.  Eğer sandığım gibi bir insanda en fazla bir milyon saç olabiliyorsa, o zaman Türkiye’de en az 79 kişinin aynı sayıda saçı vardır.

Burada, güvercin yerine insan, yuva yerine de saç sayısını koyduk.  Bir milyon+1 (0 saçı olanlarla) yuvamız var. Bu yuvaları 0’dan 1 milyona kadar numaralandıralım.  79 milyondan fazla insanı, saç sayılarına göre, bu bir milyon+1 yuvaya sokacağız.  Keller, yani sıfır saçı olanlar, 0 sayılı yuvaya girecek.  Bir tel saçı olanlar 1 sayılı yuvaya, iki tel saçı olanlar 2 sayılı yuvaya, … ve 1 milyon tel saçı olanlar 1 milyon sayılı yuvaya. 79 milyon Türk vatandaşı olduğunda en az 79 kişi aynı yuvaya girmek zorunda, yani en az 79 kişide aynı sayıda saç vardır.

TANIŞ SAYISI

Güvercin yuvası ilkesini kullanarak bir teorem kanıtlayalım: Herhangi bir insan topluluğunda, aynı sayıda insan tanıyan (en az) iki kişi vardır.  Yani herhangi bir toplulukta, tanıdıkları insan sayısı birbirine eşit olan en az iki kişi vardır.

Örneğin dört kişilik ailemde, ailemin her ferdi üç kişi tanır. Doğal olanı da budur zaten.  Çocuklarımdan biri, ne eşimin ne de benim tanıdığım bir arkadaşını eve getirdiğinde, eşimle ben evdeki beş kişiden üçer kişi tanırız.  Eğer eve gelen konuğu çocuklarımdan biri ve eşim tanıyorsa, o zaman eşimle o çocuğum evdeki beş kişiden dörder kişi tanırlar.

Buna benzer deneyler yaparsanız, yaptığınız her deneyde en az iki kişinin aynı sayıda insan tanıdığını göreceksiniz.  Toplulukta üç beş kişi değil, milyonlarca kişi olabilir.  O zaman da teorem doğrudur, bu milyonlarca kişiden en az ikisi aynı sayıda insan tanıyordur.  (Yazının gerisini okumadan teoremi kanıtlayabilir misiniz?)

Teoremi kanıtlamadan önce, teoremde kullandığımız terimleri açıklayalım.

  1. “İnsan topluluğu” terimiyle en az iki kişinin bulunduğu toplulukları kastediyoruz.
  2. Herhangi iki kişinin birbirini ya tanıdığını ya da tanımadığını varsayıyoruz. “Sizi gözüm bir yerden ısırıyor” gibi kuşkuya yer yok bu teoremde.
  3. Eğer A, B’yi tanıyorsa, B’nin de A’yı tanıdığını varsayıyorum. Örneğin Cumhurbaşkanımızla aynı topluluktaysanız ve siz Cumhurbaşkanımızla bir tarihte tanışmışsanız, Cumhurbaşkanı da sizi tanımak zorunda, unutmaya hakkı yok. Yani, teoremimizde, “ben sizi tanırım, ama siz beni tanımazsınız” gibi bir alçakgönüllülüğe yer vermiyoruz.
  4. Son bir noktayı da aydınlatmam gerekiyor. Bir insanın kendini tanıdığını varsayacak mıyız? İster varsayalım ister varsaymayalım, teoremin doğruluğunu etkilemez bu varsayım. Her insanın tanış sayısı – yaptığımız varsayıma göre – ya 1 artar ya da 1 eksilir, ama en az iki tanış sayısı arasındaki eşitlik bozulmaz.  Biz, teoremi kanıtlarken, bir insanın kendini tanımadığını varsayacağız.  Dolayısıyla, 5 kişilik bir toplulukta, herhangi bir kişinin tanış sayısı 0’la 4 arasında bir sayıdır.  Her insanın kendisini tanıdığını varsaysaydık, tanış sayısı 1’le 5 arasında değişecekti.

Şimdi genel kanıta geçelim.

Eğer toplulukta $n$ kişi varsa, her kişinin tanış sayısı $0$’la $n-1$ arasında değişir ($0$’la $n-1$ dahil).  $0$’la $n-1$ arasında $n$ sayı vardır.  Herkese bu $n$ sayıdan birini vereceğiz.  $n$ kişi ve $n$ sayı var…  Herkese ayrı sayı düşebilirmiş gibi gelebilir ilk bakışta.

İkinci kez bakalım…

Eğer topluluktan biri 0 kişi tanıyorsa (yani kimseyi tanımıyorsa), bir başkası $n-1$ kişi (yani herkesi) tanıyamaz.  Bunun tersi de doğrudur: Eğer topluluktan biri $n-1$ kişiyi (yani herkesi) tanıyorsa, bir başkası 0 kişi tanıyamaz.  Dolayısıyla, topluluktaki kişilerin tanış sayıları ya,

$$1,2,3,…., n-1$$

ya da,

$$0,1,2,…, n-2$$

arasında değişir.  Her iki şıkta da tanış sayısı en fazla $n-1$ değer alır.

Bu $n$ kişiye, $n-1$ sayıyı dağıtacağız.  Herkese değişik sayı düşemez, çünkü insan sayısı $n$ ve dağıtacağımız yalnız $n-1$ tane sayı var.  Dolayısıyla bu durumda en az iki kişinin tanış sayısı eşit olmak zorunda.  Burada güvercin yuvası ilkesini kullandık.

BİR SİHİRBAZLIK

Yöntemin gücünü daha iyi göstermek için bir başka teorem kanıtlayalım.  Buram buram sihirbazlık kokan bir teorem…

1’le 50 arasından herhangi on sayı seçin.  Şimdi çok iddialı bir şey söyleyeceğim: Bu on sayı arasından, toplamları birbirine eşit olan iki tane beş sayılık küme bulabilirsiniz.

Örneğin, diyelim,

$$\{2, 5, 24, 26, 27, 30, 33, 34, 42, 50\}$$

sayılarınızı seçtiniz. Aşağıdaki beş öğeli altkümelere bakalım:

$$\{2, 24, 27, 33, 42\}~~~ ve~~~~ \{5, 26, 30, 33, 34\}$$

Bu iki kümenin sayılarının toplamları birbirine eşittir. İnanmazsanız toplayın.

İsterseniz 1’le 50 arasında başka on sayı seçin.  Biraz denerseniz – ne sihirdir ne keramet – seçtiğiniz on sayı arasından, toplamları eşit olan iki tane beş sayılık küme bulabilirsiniz.

Bu savı kanıtlayalım.  A, on sayılık kümemiz olsun. A’nın kaç tane beş öğeli altkümesi vardır?

$${10 \choose 5}=252$$

tane vardır** .  Bu sayıyı aklımızda tutalım, birazdan gerekecek.

Öte yandan, her beş öğelik altkümenin sayılarının toplamı en az

$$1+2+3+4+5=15$$

en çok

$$46+47+48+49+50=240$$

olabilir.  Demek ki toplamlar 15’le 240 arsıda değişiyor. 15’le 240 arasında

$$240-15+1=226$$

sayı vardır. Bu sayı da önemli olacak, aklımızda tutalım.

Demek ki, 252 tane beş öğelik altkümenin sayılarının toplamı 15’le 240 arasındaki 226 sayıdan biri olmalı.  252, 226’dan daha büyük olduğundan, güvercin yuvası ilkesine göre, bu 252 altkümeden en az ikisi aynı toplamı vermeli. Teoremimiz kanıtlanmıştır.

Ali Nesin
Bilim Akademisi Üyesi
Bilgi Üniversitesi Matematik Bölümü

*Bu yazı Ali Nesin’in “Matematik ve Doğa” başlıklı kitabından alınmıştır (Nesin Vakfı yayınları, 8. Baskı, Şubat 2017)

**Bkz. “Matematik ve Oyun”, Ali Nesin, Nesin Vakfı Yayınları.

CEVAP VER

Please enter your comment!
Please enter your name here