Üç boyutlu vektör çarpımına Hüseyin Tevfik Paşa’nın yaklaşımı
Olcay Coşkun, Alp Eden ve Ersin Karabudak
19. yüzyıldan bir lineer cebir kitabı
1882 yılında İstanbul’da Boyacıyan Matbaasında vektör cebirleri üzerine İngilizce bir kitap yayınlanıyor. Kitabın başlığı Linear Algebra (Lineer Cebir). Kitabın yazarı Hüseyin Tevfik (1832–1901) yurt dışında uzun seneler görev yapmış bir asker. Yazar 1832 yılında şimdi Bulgaristan’ın parçası olan Vidin şehrinde doğuyor. Askeri okullarda eğitim görürken matematiğe ve özellikle cebire ilgi duyuyor. Hüseyin Tevfik Osmanlı’nın sivil eğitim tarihinde birçok ilke imza atmış bir aydın.[1]Polat, A. (2019) “Son dönem Osmanlı matematikçi-bürokratı Vidinli Hüseyin Tevfik Paşa’nın hayatı”, Osmanlı Bilimi Araştırmaları, Volume 20, Number 1, 16–46. Uzun yıllar yurt dışında askeri (ticaret) ataşesi olarak görev görüyor. En uzun süreli yurt dışı görevlendirmesi ABD’de, 1872–1878 ve 1883–1886 yılları arasında gerçekleşiyor. Kitabını yazmaya da bu süre içinde başlıyor. Kitabını neden İngilizce yazdığı konusunda elimizde bir bilgi yok. Yazımızda Vidinli lakabıyla da bilinen Hüseyin Tevfik Paşa’nın yaşamıyla ilgili bilgi aktarmak yerine kitapta verilen orijinal vektör çarpımının özelliklerini, bazı yeni çalışmaların ışığında, hem geometrik hem de cebirsel olarak tekrar ele almak istiyoruz.
Vidinli Hüseyin Tevfik Paşa’nın İzmir Milli Kütüphane’deki büstü. Fotoğraf: Ezgi Ergin (İzinle kullanılmıştır.)
19. yüzyılda Gauss ve Riemann gibi büyük matematikçilerin de çabalarıyla hem karmaşık analiz hem de soyut cebir konuları Öklid geometrisinin iki bin yıllık rakipsiz hakimiyetine meydan okuyor. Bu meydan okuma mekanik gibi matematiğin yoğun olarak kullanıldığı alanlara da sirayet ediyor. Lagrange analitik mekanik kitabının girişinde, mekanik konusunu incelerken hiçbir şekle/çizime yer vermemekle övünüyor. Geometrik düşünce yerini cebirsel manipülasyonlara ve fonksiyonların kuvvet serisi açılımlarına bırakıyor, yani soyut cebir ve karmaşık analiz yaklaşımlarına. Hamilton’un 1843 yılında tanımladığı kuaterniyon çarpımı kavramını da bu çerçevenin içinde görebiliriz. Soyut vektör uzayı kavramının oluşmadığı, vektörler üzerindeki cebirsel operasyonların iyi anlaşılmadığı bir dönemde karmaşık analiz ve vektör cebirlerinin doğal kavramsal genişlemesi olarak kuaterniyonlarla analiz ve cebir yapmak moda oluyor. Hamilton gibi matematikte olduğu kadar fizikte de yetkin olan bir bilim insanının yaklaşımları yaygın kabul görüyor. Yazımızda incelediğimiz kitabı bu tarihsel ortamda değerlendirmek lazım.
William Rowan Hamilton (1805–1865) İrlandalı fizikçi, matematikçi, astronom ve Hamilton Mekaniği kuramının kurucusudur. Hamilton’un karmaşık sayıların cebirini üç boyuta genelleştirme çabaları kuaterniyon çarpımıyla dört boyutta gerçekleşiyor. Baz vektörlerini $\textbf{1}$, $\textbf{i}$, $\textbf{j}$ve $\textbf{k}$olarak alırsak, kuaterniyon çarpımı aşağıdaki çarpımlarla belirleniyor:
Bu çarpım birleşim özelliğini sağlıyor ve çarpıma göre sıfır bölenine izin vermiyor. Ama $\textbf{1}$, $\textbf{i}$ ve $\textbf{j}$ vektörlerinin oluşturduğu üç boyutlu uzay çarpıma göre kapalı değil. Örneğin $\textbf{ij} = \textbf{k}$ bu uzayda değil. Yani üç boyutlu Öklid uzayında kuaterniyonlarla analiz yapabilmek için uzayın dışına çıkmak gerekiyor. Hüseyin Tevfik Paşa kuaterniyon çarpımının bu özelliğinden dolayı geometrik bir çarpım olmadığını düşünüyor.
Hamilton’un 1843’te Dublin’de Brougham (Broom) köprüsünde yürürken bulduğu kuaterniyon çarpımını köprüde bir taşın üstüne kazımış, daha sonra silinen formül ve hikayesi taş bir plaka üzerine taşınmıştır.
Lineer Cebir kitabının ilk baskısı Peter Guthrie Tait’in kuaterniyonlar üzerine yazdığı kitaba[2]Tait, P.G. (1874) An Elementary Treatise on Quaternions, Cambridge University Press. https://eudml.org/doc/203179 bir mukabele olarak yazılıyor. Kuaterniyon çarpımının yerine yeni bir çarpım tanımlanıyor ve Tait’in kitabındaki uygulamaların bir kısmı alternatif bir biçimde elde ediliyor. Kitabın ikinci baskısı ise çok daha açık uçlu olarak yazılmış ve bu çalışmayı süregelen araştırma projeleri demeti olarak görmek lazım.
Hüseyin Tevfik Paşa’nın Lineer Cebir kitabının ikinci baskısının kapak sayfası.
Bizler, bir dizi çalışma ile bu araştırma projelerini daha modern matematik kavramları kullanarak ilerletmeyi başardık.[3]Eden, A, Karabudak, E. (2023) “Hüseyin Tevfik Paşa’nın vektör çarpımına farklı bir bakış”, Matematik Dünyası, 115, 109–114.[4]Coşkun, O., Eden, A., & Karabudak, E. (2025). Revisiting a 19th Century Vector Algebra Book. Journal of Humanistic Mathematics, 15(2), 146–185, https://doi.org/10.5642/jhummath.BCUV6997. Tanımlanan yeni çarpımı anlamaya çalışırken kullandığımız bazı kavramlar ve teknikler Hüseyin Tevfik Paşa’nın zamanında henüz bilinmiyordu. Bu kavramlar ve teknikler sayesinde kitapta birleştirilmemiş uçları da birleştirerek daha tutarlı ve sistematik bir tablo ortaya çıkardık. Hüseyin Tevfik Paşa’nın kitaplarında geliştirdiği kavramsal çerçeveyle bizim makalelerimizde elde ettiğimiz neticeler yazımızda iyi ayrışmamış olabilir bunu sağlamak için yeni olduğunu düşündüğümüz neticelere daha detaylı referans vermeye çalıştık. Burada elde ettiğimiz neticelerin ufak bir kısmını bu yazının devamında mümkün olduğu kadar basit (gündelik) bir dille sunmaya çalıştık. Kitapları okurken sabırlı ve direngen davranmak gerekiyordu, ama kitapların zengin ve ilham veren içeriği harcadığımız çabayı anlamlı kıldı.
Kitabın yazılma amacının ne olduğunu anlamak için biraz detektiflik yapmak gerekiyor. İkinci ve genişletilmiş baskısı yine aynı matbaada 1892’de basılan kitabın iki değişik baskısının önsözleri sanki okuyucuyu şaşırtmak üzerine yazılmış. Yazar ilk baskısının kısa önsözünde Hamilton’un kuaterniyon çarpımına alternatif olarak sunduğu lineer cebiri savunurken ikinci baskısının iki sayfalık önsözünde tanıttığı vektör çarpımını karmaşık sayıların çarpımının üç boyuta bir genelleştirmesi olarak sunuyor.
Kitabın ilk ve ikinci baskıları içerdiği konular bakımından büyük ölçüde örtüşse de 68 sayfa olan ilk baskısıyla kıyaslandığında 185 sayfa olan genişletilmiş ikinci baskısı çok daha detaylı analizler ve daha zengin uygulamalar içeriyor. Yazımızın da temasıyla alakalı olduğu için kitabın ikinci baskısında karmaşık büyüklüklere (complex quantities) ayrılan son bölümü özellikle vurgulamak istiyoruz.[5]Karmaşık büyüklüklere ayrılmış bölümde yazar önerdiği çarpıma alternatif başka ve daha genel çarpımlar da öneriyor. Bu bölümde ele alınan karmaşık büyüklükler vektörlerle skalerlerin (gerçel sayıların) hibrid biçimde ele alınmasıyla ortaya çıkan nesnelerdir. İncelenen alternatifler arasında dört boyutta kuaterniyon çarpımı da var (Bkz. Coşkun ve diğ. (2025) Proposition 6). Bu genel yaklaşımla Hüseyin Tevfik Paşa önerdiği vektör çarpımıyla Hamilton’un vektör çarpımını aynı kavramsal düzlemde farklı alternatifler olarak sunmayı başarıyor. İlk baskıda ek bir bölüm olarak sadece beş sayfa yer tutarken ikinci baskıda 28 sayfalık kapsamlı bir bölüm haline getiriliyor. Argand sistemi[6]“Argand sistemi”, “Argand cebiri” terimleri ikinci baskının önsözünde defalarca geçiyor, bu terimlerle yazarın karmaşık sayılar cebrini ve geometrik olarak da karmaşık düzlemi kast ettiğini düşünüyoruz. hakkında iki baskıda da ayrı bir bölüm bulunmuyor ama bir vektörün değişik kuvvetlerinin tanımlandığı bölümlerde (ikinci baskıda 42. ve 43. paragraflar) bir vektörün değişik kuvvetleri Argand temsili kullanılarak tanımlanıyor.
Argand temsili
Her karmaşık sayı $z = r \exp(i \theta)$ şeklinde yazılabilir. Burada $r$ vektörün uzunluğunu, $\theta$ açısı da vektörün birim vektör ile yaptığı açıyı gösterir. Bu gösterim kutupsal gösterim olarak da bilinir.
Kaba bir tabirle Hüseyin Tevfik Paşa’nın el verdiği öğrencilerden birisi tanınmış bilim insanı Salih Zeki’dir. Salih Zeki anılarında ustası ve hocası olan Hüseyin Tevfik Paşa’nın, kitabında “Argand usulünü” üç boyuta aktarmaya çalıştığını vurguluyor.[8]Çeçen, K. (1988) editor, Hüseyin Tevfik Paşa ve “Linear Algebra”, İTÜ Bilim ve Teknoloji Tarihi Araştırma Merkezi, (ikinci baskısı 2019) s. 26. Argand usulünün ne olduğu ne Salih Zeki’nin anılarında ne de kitabın ikinci baskısının içinde net bir biçimde anlatılmıyor.[9]Burada kasıt üç boyutlu vektörler için Argand temsili ise bu temsilin Vidinli çarpımı için tam olarak geçerli olmadığı gösterilebiliyor.(Coşkun ve diğ. s. 166, Proposition 5) Onun için yazarın niyetinden çok ne başardığını anlamaya yönelmenin daha doğru olduğunu düşünerek detaylı bir kitap incelemesi yaptık.[10]Coşkun, O., Eden, A., & Karabudak, E. (2025). Revisiting a 19th Century Vector Algebra Book. Journal of Humanistic Mathematics, 15(2), 146–185, https://doi.org/10.5642/jhummath.BCUV6997.
İlk baskısında Hamilton’un kuaterniyon kavramıyla yoğun bir hesaplaşmaya giren yazarın kısmen neden başarılı olduğu başka bir yazıda incelenmişti.[11]Eden, A, Karabudak, E. (2023) “Hüseyin Tevfik Paşa’nın vektör çarpımına farklı bir bakış”, Matematik Dünyası, 115, 109–114. Hüseyin Tevfik Paşa’nın, üç boyutlu Öklid uzayında kuaterniyon cebiri kullanılarak elde edilmiş sonuçları Vidinli çarpımı kullanarak neden elde edebildiği gösterilebiliyor. Üç boyutlu vektörler için iç çarpım (dot product) ve vektör çarpımı (cross product) hem Vidinli’nin vektör çarpımı hem de kuaterniyon çarpımı cinsinden ifade edilebiliyor. Vektör analizinin analitik geometri problemlerine uygulamalarında günümüzde iç çarpım ve vektör çarpımı yaygın olarak kullanılıyor. Dolayısıyla yazarın üç boyutlu uzayda analitik geometri yapabilmek için kuaterniyon cebirine ihtiyaç olmadığı iddiasının neden geçerli olduğu da anlaşılıyor. Çünkü bu iki kullanışlı operasyon, iç çarpım ve vektör çarpımı, Vidinli çarpımı kullanarak ifade edilebiliyor.
Hüseyin Tevfik Paşa ile Salih Zeki’nin uzun yıllar süren usta-çırak ilişkisi Salih Zeki’nin vefatından sonra el yazması notlarından faydalanarak yayınlanan hatıralarında detaylı bir biçimde anlatılıyor.[12]Çeçen, K. (1988) s. 25-41. Hüseyin Tevfik’in birçok matematik konusu ile aktif olarak ilgilendiğini ve geniş bir kütüphaneye sahip olduğunu bu anılardan öğreniyoruz. Karmaşık sayılar, kuaterniyonlar, Öklid ve Öklid dışı geometriler vb. birçok konuda evinde seminerler veren Hüseyin Tevfik Paşa’nın Salih Zeki’nin bilimsel gelişiminde etkin bir rol oynadığını düşünüyoruz.
Salih Zeki’nin hatıralarında yer alan aşağıdaki hikâye her ne kadar hakkında bir delil kalmasa da anmaya değer:
“Paşa, Argand usulünü bud-u mücerrede tatbik ile birçok zaman uğraşmış ve fakat muvaffak olamamıştır. Nihayet bu defa Amerika’ya giderken havanın fena olmasından kamarasında arka üzeri yatmakta ve korkulu rüya olan bu şeye sarf-ı zihin eylemekte iken adeta kendine bir suret-i tesviye ilham edilmiş ve derhal bunu cebinde bulunan tütün paketi üzerine tersim ve tahrir eylemiştir. Paşa bu tütün paketini vefatına kadar saklamış ve bir defa da muharrir-i acize (Salih Zeki) göstermiş ise de vefatında maateessüf evrak meyanında bulunamamıştır.”[13]Çeçen, K. (1988) s. 38
Vidinli’nin vektör çarpımına geçmeden önce Hüseyin Tevfik’in kitabının yurt dışında tanınması için kişisel çaba gösterdiğini de belirtelim. Gerek Harvard Üniversitesi kütüphanesindeki dijital kopya gerekse ikinci baskısının Internet Archive‘daki dijital kopyası yazarın çabalarının ürünü olsa gerek.
Hüseyin Tevfik Paşa’nın Harvard Üniversitesine gönderdiği kopyanın içindeki 5 Şubat 1885 tarihli notu. Notta Hüseyin Tevfik, Matematik Bölümü Profesörü James Mills Peirce’in önerisi üzerine Linear Algebra kitabının bir kopyasını posta ile gönderdiğini belirtiyor. Bu not, kitabın Internet Archive’daki kopyasında mevcut.
Hüseyin Tevfik Paşa’nın vektör çarpımı
Üç boyutlu vektörler sayılar gibi davranıyor mu?
Karmaşık sayıların cebirsel özelliklerini bir üst boyuta taşımak istersek şu soruyu sormamız gerekiyor:
“Karmaşık sayılar, gerçel sayıların (2 boyutlu uzaya) doğal genellemesidir. Üç boyutlu uzayda vektörlerin çarpımı, benzer şekilde, karmaşık sayıların 3 boyutlu uzaya doğal genellemesi olacak şekilde tanımlanabilir mi?”
Bu soruya basit bir argümanla olumsuz bir cevap verilebiliyor.[14]bkz. K.O May, “The Impossibility of a Division Algebra of Vectors in Three Dimensional Space”, The American Mathematical Monthly, Vol. 73, No. 3 (Mar., 1966), pp. 289–291 1878’de Frobenius bu soruya olumsuz bir cevap veriyor. Hüseyin Tevfik Paşa matematiksel olarak imkânsız olan bir işi başarmaya çalışıyor. Tanımladığı çarpımın sayılar için arzulanan özellikleri sağlayamayacağı, yani bölüm cebiri (division algebra) olamayacağı açık, o da birleşim özelliğinden fedakârlık etmeyi tercih ediyor. Hamilton’un tercihi ise dört boyuta çıkmak oluyor.
Hüseyin Tevfik Paşa’nın kuaterniyon çarpımı yerine önerdiği vektör çarpımı kullanışlılık konusunda farklı zorluklar getiriyor. Üç boyuttaki vektörleri $\textbf{1}$, $\textbf{j}$ ve $\textbf{k}$bazı cinsinden yazarsak, herhangi bir vektör, a, b ve c gerçel sayılar olmak üzere, $a \textbf{1}+ b \textbf{j} +c \textbf{k}$ şeklinde ifade edilebiliyor. Vidinli vektör çarpımını ilk olarak geometrik ifade etse de bu koordinatlar cinsinden ifadesinin daha anlaşılır olduğunu düşünüyoruz.
Baz vektörlerinin çarpım tablosu şöyle veriliyor.
Bu çarpım tablosunu kullanarak keyfi iki vektörün çarpımını da $\textbf{1}$, $\textbf{j}$ ve $\textbf{k}$koordinatları cinsinden ifade etmek mümkün:
Yukarıdaki tablodan görülebileceği gibi bu çarpım, bundan sonra v-çarpımı olarak belirteceğiz, birleşim (assosiyatif) özelliğini sağlamıyor. Birleşim özelliğini sağlamayan çarpımlar cebirde çok makbul bir kategori değiller. Hüseyin Tevfik Paşa’nın v-çarpımının da sırtındaki bu kamburu iyi taşıması lazım. Cahit Arf’ın Vidinli’nin kitabıyla ilgili yaptığı yorumu şöyle noktaladığını hatırlatalım.
“Cebrin assosiyatif olmaması 2’den daha yüksek dereceli problemlere yeterli şekilde uygulanabilmesini önler ve kitap elementer geometriye, bu tür problemlere kısıtlanmış, çok sayıda uygulamayı içerir.”[15]Çeçen (1988) s. 48, İngilizce orijinalinden çeviren E. Şuhubi
19. yüzyılın sonlarında gerek vektör cebri ve gerekse vektör analizi kavramları tam oturmuş değil, bunun için Yale Üniversitesinin efsanevi profesörlerinden Gibbs’in[16]Josiah Williard Gibbs ders notlarının 20. yüzyılın başında bir öğrencisi tarafından düzenlenmesini beklemek gerekiyor.[17]Wilson B. (1960) Vector analysis. A textbook for the use of students of mathematics and physics, founded upon the lectures of J. Willard Gibbs. Dover Publications, New York, 1960. (ilk basımı 1901 yılında.) 1913 baskısı burada.Meraklı okurlar çevrimiçi erişilebilen bu notları indirip günümüzde analiz (kalkülüs) derslerinde okutulan içerikle ne kadar örtüştüğünü görebilirler.[18]Josiah Willard Gibbs (1839–1903) istatistiksel fiziğin kurucularından Amerikalı fizikçi ve mühendistir. Daha sonra kitaplaştırılan Yale Üniversitesinde verdiği dersin notları 1881 ve 1884 yıllarında çoğaltılarak uzun süre öğrencileri arasında kullanılmıştır. Bkz. Bumstead, Henry A. “Josiah Willard Gibbs [Reprinted with some additions from the American Journal of Science, ser. 4, vol. xvi., Eylül 1903.]”. Bu notlardan Hüseyin Tevfik Paşa’nın haberdar olup olmadığını ne yazık ki tespit edemedik. 19. yüzyılda soyut vektör uzayı kavramı da yeni yeni anlaşılmaya başlanıyor ve kuaterniyonlar soyut vektör uzaylarının en tipik örneği olarak sunuluyor.[19]Crowe, M.J. (1967) A History of Vector Analysis: The Evolution of the Idea of a Vectorial System. University of Notre Dame Press, Notre Dame, Indiana.Vektör analizini kuaterniyon cebirlerinin analizine indirgeyen yaklaşım 20. yüzyılda yavaş yavaş terkediliyor ve yerini iç çarpım ve vektör çarpımının özelliklerinin incelenmesine bırakıyor. Bu yaklaşımı Gibbs’in 1901’de basılan ders notlarında da görmek mümkün.
Vidinli’nin önerdiği vektör çarpımı birleşim özelliğinin yanı sıra değişim özelliğini de sağlamıyor, v-çarpımına göre sıfır bölenlerinin olması da hesap yapmayı zorlaştıran öğeler arasında yer alıyor. “Bu çarpımın hiç de iyi bir tarafı yok mu?” sorusuna neyse ki birkaç olumlu cevap verebiliyoruz.[20]Eden, A, Karabudak, E. (2023) “Hüseyin Tevfik Paşa’nın vektör çarpımına farklı bir bakış”, Matematik Dünyası, 115, 109–114.[21]Coşkun, O., Eden, A., & Karabudak, E. (2025). Revisiting a 19th Century Vector Algebra Book. Journal of Humanistic Mathematics, 15(2), 146–185, https://doi.org/10.5642/jhummath.BCUV6997.
Birleşim Özelliğinin sağlanmadığı cebirsel dünyada farklı zorluklar
$\textbf{a} \veebar \textbf{x} = \textbf{b}$ denklemi çözülebilecek en basit denklemdir, ideal bir dünyada a vektörünün v-çarpımına göre tersini alıp denklemin iki tarafını da bu terimle çarpınca denklemin çözümünü elde ederiz. Birleşim özelliği olmadan bu basit çözüm yöntemi çalışmayabilir. Yani bölme işlemi tanımlı olmayabilir. Yazar kitabında bu zorluğun farkında olduğunu belirtmiş ama yerine bir yöntem önermemiştir. (Bu denklemi birimcil düzleme indirgemenin geometrik bir yolu vardır. Birimcil düzlemde de karmaşık sayılarda olduğu gibi denklemi çözebiliriz.[22]Coşkun ve diğ. (2025) s. 165.
Her ne kadar Argand’ın kutupsal temsili keyfi üç boyutlu vektörler için geçerli olmasa da vektörler aynı özel düzlemlerde yer aldığı zaman bu temsili göstermek mümkün. Bu özel düzlemleri Hüseyin Tevfik birimcil düzlemler (principal planes) olarak adlandırıyor, bu düzlemlerin ortak noktası v-çarpımına göre birim vektörü olan $\textbf{1}$ vektörünü içermeleri. Birimcil düzlemler v-çarpımı altında kapalı, yani birimcil düzlemdeki iki vektörün çarpımı yine aynı düzlemde kalıyor. Ayrıca bu düzleme kısıtlandığında v-çarpımı hem birleşim hem de değişim özelliğini sağlıyor.
Birim vektöre dik olan $\textbf{j}$ ve $\textbf{k}$ vektörlerinin belirlediği düzlem birimcil bir düzlem değil, çünkü birim vektörü içermiyor. $\textbf{j}$ ve $\textbf{k}$ vektörlerinin tüm olası çarpımlarının $\textbf{1}$ veya $\textbf{-1}$ olması bu düzlemdeki herhangi iki vektörün çarpımının birim vektöre paralel olmasını sağlıyor. Bu düzlemde birim uzunlukta bir $\textbf{u}$ vektörü alındığında, bu vektörün karesi (kendisiyle v-çarpımı) $\textbf{-1}$ vektörünü veriyor, yani $\textbf{u}$ vektörü saf karmaşık sayı $i$ (karesi −1 olan) gibi davranıyor. Benzerlik burada bitmiyor, $\textbf{1}$ ve $\textbf{u}$ vektörlerinin belirlediği birimcil düzlem karmaşık sayıların düzlemiyle cebirsel olarak eşbiçimli (izomorfik).[23]Coşkun ve diğ.(2025) s. 162. Yani birimcil düzlemler üzerinde karmaşık analiz yapabiliyoruz, tabii ki vektörlerin aynı birimcil düzlemde kaldığını gösterebilirsek. Vektörlerin genelleştirilmiş kuvvetlerinin de vektör ile aynı birimcil düzlemde olması burada analiz yapılmasını kolaylaştırıyor. Herhangi iki vektör verildiğinde, bu vektörleri içeren bir birimcil düzlem olduğunu gösterebilseydik hayat çok kolay olurdu, ama $\textbf{j}$ ve $\textbf{k}$ vektörleri bu hayalin her zaman gerçekleşmediğini gösteriyor.
Birimcil düzlemlerin karmaşık düzlemle ilişkisi.
Birimcil düzlemler arasında en az bir tanesi, örneğin $\textbf{1j}$düzlemi, doğal olarak karmaşık sayı düzlemi gibi davranıyor. Verilen herhangi bir birimcil düzlem $\textbf{jk}$ düzleminde birim uzunluğunda bir vektör, buna $\textbf{u}$ diyelim, tarafından belirleniyor.[24]Coşkun ve diğ. 2025, Theorem 1, s. 162 $\textbf{jk}$ düzleminde bir rotasyon $\textbf{u}$vektörünü $\textbf{j}$vektörüne götürüyor. Bu rotasyon birincil düzlemin karmaşık sayı düzlemine eşbiçimli olduğunu gösteriyor. Bu rotasyonlar, bunlara birimcil rotasyon diyebiliriz, v-çarpımını koruyan dönüşümlere (otomorfizmalara) baktığımızda da karşımıza çıkıyor. Hatta v-çarpımını koruyan tüm dönüşümler birimcil rotasyonlardan oluşuyor.[25]Coşkun ve diğ. (2025) Corollary 5, s. 176
Doğal olarak bu sorunun tersini de sormak mümkün, yani her birimcil düzlemde karmaşık çarpıma eşbiçimli bir çarpım veren başka üç boyutlu vektör çarpımı var mı? Gönül isterdi ki bu tarz çarpımlar tek bir biçimde belirlensin. Bu özelliğe sahip vektör çarpımlarına burulmalı (twisted) v-çarpımı adını verdik.[26]Coşkun ve diğ.(2025) s. 171, Proposition 7 Hüseyin Tevfik Paşa’nın önerdiği çarpım bu sınıftan daha iyi simetri özelliklerini sağlayan özel bir duruma karşılık geliyor.[27]Coşkun vd diğ. (2025) s. 179, Remark 4 Vidinli çarpımını kullanarak oluşturulan cebirlere de Vidinli Cebri adını önerdik bu cebirlerin özelliklerini ileriki çalışmalarımızda inceleyeceğiz.[28]Coşkun, O., Eden, A. (preprint 2025) “Structure of Vidinli Algebras: Simple Non-Associative Jordan–Lie Algebras with Azumaya Properties”
Polat, A. (2019) “Son dönem Osmanlı matematikçi-bürokratı Vidinli Hüseyin Tevfik Paşa’nın hayatı”, Osmanlı Bilimi Araştırmaları, Volume 20, Number 1, 16–46.
Coşkun, O., Eden, A., & Karabudak, E. (2025). Revisiting a 19th Century Vector Algebra Book. Journal of Humanistic Mathematics, 15(2), 146–185, https://doi.org/10.5642/jhummath.BCUV6997.
Karmaşık büyüklüklere ayrılmış bölümde yazar önerdiği çarpıma alternatif başka ve daha genel çarpımlar da öneriyor. Bu bölümde ele alınan karmaşık büyüklükler vektörlerle skalerlerin (gerçel sayıların) hibrid biçimde ele alınmasıyla ortaya çıkan nesnelerdir. İncelenen alternatifler arasında dört boyutta kuaterniyon çarpımı da var (Bkz. Coşkun ve diğ. (2025) Proposition 6). Bu genel yaklaşımla Hüseyin Tevfik Paşa önerdiği vektör çarpımıyla Hamilton’un vektör çarpımını aynı kavramsal düzlemde farklı alternatifler olarak sunmayı başarıyor.
“Argand sistemi”, “Argand cebiri” terimleri ikinci baskının önsözünde defalarca geçiyor, bu terimlerle yazarın karmaşık sayılar cebrini ve geometrik olarak da karmaşık düzlemi kast ettiğini düşünüyoruz.
Burada kasıt üç boyutlu vektörler için Argand temsili ise bu temsilin Vidinli çarpımı için tam olarak geçerli olmadığı gösterilebiliyor.(Coşkun ve diğ. s. 166, Proposition 5)
bkz. K.O May, “The Impossibility of a Division Algebra of Vectors in Three Dimensional Space”, The American Mathematical Monthly, Vol. 73, No. 3 (Mar., 1966), pp. 289–291
Wilson B. (1960) Vector analysis. A textbook for the use of students of mathematics and physics, founded upon the lectures of J. Willard Gibbs. Dover Publications, New York, 1960. (ilk basımı 1901 yılında.) 1913 baskısı burada.
Josiah Willard Gibbs (1839–1903) istatistiksel fiziğin kurucularından Amerikalı fizikçi ve mühendistir. Daha sonra kitaplaştırılan Yale Üniversitesinde verdiği dersin notları 1881 ve 1884 yıllarında çoğaltılarak uzun süre öğrencileri arasında kullanılmıştır. Bkz. Bumstead, Henry A. “Josiah Willard Gibbs [Reprinted with some additions from the American Journal of Science, ser. 4, vol. xvi., Eylül 1903.]”.
_regarding_the_discovery_of_Quaternions_multiplication_by_Sir_William_Rowan_Hamilton.jpg){kind=link}
